Compétences et clés de réussite

Cet exercice 2 du sujet 1 de Métropole 2022 est un classique incontournable de la géométrie dans l'espace pour le Baccalauréat. Il mobilise l'ensemble des notions vectorielles et analytiques du programme de Terminale. Voici les points clés pour réussir ce type de problème.

1. Maîtriser les représentations paramétriques

La première partie de l'exercice vérifie votre capacité à extraire des informations d'une représentation paramétrique de droite. Il faut savoir identifier instantanément un vecteur directeur à partir des coefficients du paramètre $t$ et vérifier l'appartenance d'un point en résolvant le système associé. Le calcul du produit scalaire intervient ensuite pour préparer l'étude de l'orthogonalité.

2. L'intersection Droite-Plan et le Projeté Orthogonal

Le cœur de l'exercice repose sur la notion de projeté orthogonal. La méthode classique est ici décomposée :

• Déterminer l'équation cartésienne d'un plan défini par un point et un vecteur normal (ici le vecteur directeur de la droite).
• Calculer les coordonnées du point d'intersection (le projeté H) en injectant la représentation paramétrique de la droite dans l'équation du plan.
• Calculer la distance d'un point à une droite via la distance entre le point et son projeté.

Une bonne maîtrise du calcul algébrique est nécessaire, car les fractions peuvent apparaître lors de la détermination du paramètre $t$ au point d'intersection.

3. Approche vectorielle alternative

L'exercice propose une méthode alternative intéressante pour trouver le projeté orthogonal sans passer par l'équation de plan. Cette méthode repose sur la colinéarité et la décomposition vectorielle. Elle demande de bien comprendre la relation entre le vecteur $\vec{HB}$ et le vecteur directeur $\vec{u}$, et de savoir manipuler les normes et produits scalaires pour isoler le coefficient $k$. C'est une excellente illustration de la cohérence des outils mathématiques : plusieurs chemins mènent au même résultat.

4. Volumes et Aires dans l'espace

La dernière question fait le lien avec la géométrie pure en utilisant la formule du volume d'un tétraèdre ($V = \frac{1}{3} \times \text{Base} \times \text{Hauteur}$). La difficulté ici n'est pas le calcul du volume, mais son utilisation inversée : connaissant le volume et une hauteur (la distance calculée précédemment), il faut en déduire l'aire d'une face (la base). Il est crucial de bien identifier quel segment joue le rôle de la hauteur relative à quelle base (le triangle ACH ici) pour appliquer la formule correctement.