Compétences et clés de réussite

Cet exercice 1 du sujet 2 de Métropole 2021 est un QCM (Questionnaire à Choix Multiples) qui balaie des notions fondamentales du programme de spécialité mathématiques concernant les probabilités. Pour réussir ce type d'exercice, il ne suffit pas de deviner la réponse, mais de maîtriser les mécanismes de calcul rapide et de modélisation.

1. Maîtriser la Loi Binomiale

La première partie de l'exercice repose sur la reconnaissance d'un schéma de Bernoulli répété de manière indépendante. Les points clés pour réussir sont :

• Identifier les paramètres : Savoir repérer $n$ (le nombre de répétitions) et $p$ (la probabilité du succès) dans l'énoncé.
• Appliquer la formule : Connaître par cœur la formule générale $P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$. Attention à ne pas confondre les puissances appliquées au succès et à l'échec.
• Gérer les événements contraires : La question portant sur "au moins une adresse" se traite classiquement par l'événement contraire "aucune adresse n'est illisible". C'est un réflexe à avoir systématiquement dès que l'on voit la formulation "au moins un".

2. Probabilités conditionnelles et Tirage sans remise

La seconde partie change de modèle pour passer à des tirages successifs dans une urne. La difficulté principale réside dans la notion de tirage sans remise.

• L'impact sur l'univers : Contrairement à un tirage avec remise, le dénominateur des probabilités change au second tirage (il reste une boule de moins). De même, le numérateur change si la boule tirée précédemment était de la couleur étudiée.
• L'arbre pondéré : Bien que non demandé explicitement, dessiner un arbre de probabilités au brouillon est la méthode la plus sûre pour visualiser les branches et les probabilités conditionnelles ($P_{V_1}(V_2)$).
• Formule des probabilités totales : Pour calculer la probabilité d'un événement au second niveau de l'arbre (ici $V_2$), il faut savoir sommer les probabilités des chemins qui y mènent (passant par $V_1$ et par $B_1$).

En résumé, cet exercice demande de la rigueur dans la lecture des énoncés (distinction remise / sans remise) et une connaissance solide des formules de la loi binomiale.