Compétences et clés de réussite

Cet exercice du Baccalauréat 2023, tiré du Sujet 1 de l'épreuve de La Réunion, est un classique de l'analyse en classe de Terminale, spécialité Mathématiques. Il combine une partie QCM demandant de la réactivité et de la précision calculatoire, et une partie rédigée exigeant de la rigueur démonstrative.

1. Maîtriser le QCM et l'Algorithmique

La première partie (Partie A) teste des savoir-faire essentiels sur les suites numériques à travers un QCM. Pour réussir, il ne suffit pas de deviner, mais de vérifier :

• Calcul de termes : Savoir utiliser une relation de récurrence complexe ($u_{n+1} = \frac{1}{2}u_n + \frac{1}{2}n + 1$) sans faire d'erreur d'indice ou de calcul arithmétique.
• Nature des suites : Être capable d'identifier si une suite auxiliaire est arithmétique ou géométrique en calculant le rapport $v_{n+1}/v_n$ ou la différence $v_{n+1} - v_n$.
• Algorithme Python : Comprendre la structure d'une boucle for et la gestion des indices. Ici, la difficulté réside dans la traduction de la formule mathématique en langage informatique, notamment en identifiant correctement la variable d'itération i qui correspond à l'indice $n$ dans la formule de récurrence lors de l'exécution pas à pas.

2. Rigueur du raisonnement par récurrence

La Partie B demande une démonstration formelle. Le candidat doit maîtriser les trois étapes du raisonnement par récurrence :

• Initialisation : Vérifier la propriété au rang $n=0$.
• Hérédité : C'est le cœur de l'exercice. Il faut manipuler les inégalités ($n \leqslant u_n \leqslant n+3$) pour passer du rang $n$ au rang $n+1$. Une bonne maîtrise des règles sur les inégalités (multiplication par un positif, addition) est indispensable.
• Conclusion : Rappeler que la propriété est vraie pour tout entier naturel.

3. Étude asymptotique et théorèmes de comparaison

Enfin, l'exercice évalue la capacité à déduire des limites à partir d'encadrements préalablement établis. L'élève doit savoir :

• Utiliser le théorème de comparaison : Si $u_n \geqslant n$ et que $n$ tend vers l'infini, alors $u_n$ tend aussi vers l'infini.
• Travailler sur la limite d'un rapport : Pour étudier la suite $(u_n/n)$, il faut diviser l'encadrement obtenu par $n$ (pour $n>0$) et appliquer le théorème des gendarmes (ou d'encadrement) pour trouver la limite finie.

Ce sujet est un excellent entraînement pour consolider les bases de l'analyse, liant calcul manuel, logique de programmation et théorèmes fondamentaux sur la convergence.