Analyse de l'exercice : Suites, Récurrence et Python

L'exercice 2 du sujet 2 du Baccalauréat de mathématiques 2023 (zone La Réunion) propose une étude classique et complète d'une suite définie par récurrence. Ce type de problème est un incontournable des épreuves du Bac, mêlant l'analyse fonctionnelle, le raisonnement logique par récurrence et la programmation Python. Il permet d'évaluer la capacité des élèves à manipuler des suites homographiques et à utiliser des suites auxiliaires pour déterminer des limites.

Compétences et clés de réussite

Pour réussir cet exercice, le candidat doit maîtriser plusieurs notions fondamentales du programme de Terminale Spécialité Mathématiques :

• Étude de fonction associée : La première partie de l'exercice repose sur l'étude d'une fonction $f$ telle que $u_{n+1} = f(u_n)$. Il est essentiel de savoir calculer la dérivée d'un quotient (forme $\frac{u}{v}$) pour établir le sens de variation de la fonction sur l'intervalle donné. Cette étape est cruciale pour l'hérédité de la récurrence qui suit.
• Raisonnement par récurrence : C'est l'outil central pour démontrer des propriétés sur les suites. Ici, il s'agit de prouver que la suite est minorée par 2 ($u_n > 2$). La rédaction doit être rigoureuse : initialisation, hypothèse de récurrence et hérédité doivent être clairement identifiées. L'utilisation de la croissance de la fonction $f$ démontrée précédemment simplifie grandement l'étape d'hérédité.
• Sens de variation et convergence : L'élève doit être capable d'étudier le signe de la différence $u_{n+1} - u_n$. L'énoncé fournit souvent la forme factorisée, ce qui facilite l'étude du signe (tableau de signes). La conclusion sur la convergence s'appuie sur le théorème de convergence monotone (suite décroissante et minorée).
• Suites géométriques auxiliaires : La technique de la suite auxiliaire $(v_n)$ est un standard. Il faut savoir exprimer $v_{n+1}$ en fonction de $u_{n+1}$, puis substituer $u_{n+1}$ par son expression en fonction de $u_n$, pour finalement faire apparaître $v_n$. Cela permet de passer d'une suite complexe à une suite géométrique dont on connaît les formules explicites.
• Calcul de limites : Une fois l'expression explicite de $v_n$ obtenue, le candidat doit en déduire celle de $u_n$. La maîtrise des limites des suites géométriques (selon que la raison $q$ est comprise entre -1 et 1) est indispensable pour conclure.
• Algorithmique et Python : La dernière partie demande d'interpréter un script Python. Il ne s'agit pas de programmer, mais de comprendre la boucle while. Ici, l'algorithme calcule le premier rang $n$ pour lequel la suite passe en dessous d'un certain seuil. Cela fait écho à la notion de limite et de décroissance étudiée plus haut.

En résumé, cet exercice demande une grande rigueur dans la rédaction, notamment pour la récurrence, et une bonne aisance dans les manipulations algébriques pour les passages entre les suites $u_n$ et $v_n$.