Analyse de l'exercice : Géométrie vectorielle et analytique

Cet exercice numéro 4 du sujet 2 des Centres Étrangers 2025 est un problème complet de géométrie dans l'espace. Il mobilise l'ensemble des compétences attendues en Terminale concernant la manipulation des vecteurs, des plans et des droites dans un repère orthonormé. L'objectif est d'étudier des positions relatives d'objets géométriques à travers leurs équations.

Compétences et clés de réussite

Pour traiter cet exercice avec succès, le candidat doit maîtriser les notions suivantes :

• Démontrer l'alignement ou non de points : Il est nécessaire de calculer les coordonnées de vecteurs formés par ces points et de vérifier leur colinéarité.
• Vecteur normal et équation de plan : Savoir vérifier qu'un vecteur est orthogonal à deux vecteurs directeurs d'un plan (via le produit scalaire) est fondamental pour en déduire l'équation cartésienne du type ax + by + cz + d = 0.
• Intersection de plans : L'exercice demande d'étudier l'intersection de deux plans $\mathcal{P}$ et $\mathcal{P}'$. Il faut comprendre que l'intersection de deux plans non parallèles est une droite. La perpendicularité des plans se vérifie par le produit scalaire de leurs vecteurs normaux respectifs.
• Caractérisation d'une droite : Identifier un vecteur directeur d'une droite d'intersection et un point commun permet de définir la droite géométriquement.
• Représentation paramétrique : Une compétence clé est de passer de la définition géométrique (point + vecteur) à l'écriture algébrique du système paramétrique de la droite.
• Inclusion et incidence : Enfin, démontrer qu'une droite est incluse dans un plan nécessite de vérifier que les coordonnées génériques de la droite vérifient l'équation cartésienne du plan, ou que le vecteur directeur de la droite est orthogonal au vecteur normal du plan tout en partageant un point commun.

Cet exercice est structuré de manière progressive : on définit d'abord un plan (ABC), puis on introduit deux autres plans pour étudier leurs interactions. La rigueur dans les calculs de coordonnées et la justification des propriétés géométriques (orthogonalité, appartenance) sont les critères principaux d'évaluation.