Compétences et clés de réussite

Cet exercice du Baccalauréat 2022 (Centres Étrangers, Sujet 2) est un classique de l'épreuve de mathématiques, combinant l'analyse d'une fonction logarithme et l'étude d'une suite récurrente. Il permet de valider la maîtrise de l'interaction entre le continu (fonctions) et le discret (suites).

1. Analyse fonctionnelle et convexité

La première partie de l'exercice se concentre sur l'étude de la fonction $f(x) = x\ln(x) + 1$. Les points techniques à maîtriser incluent :

• Limites usuelles : La gestion des formes indéterminées en 0 nécessite la connaissance parfaite des limites par croissances comparées ($x \ln x$).
• Dérivation : Le calcul de la dérivée d'un produit est requis pour établir le sens de variation.
• Convexité : L'étude de la dérivée seconde est essentielle pour déterminer la position de la courbe par rapport à ses tangentes. Ici, cette étape sert spécifiquement à prouver l'inégalité $f(x) \geqslant x$, pivot de la suite de l'exercice.

2. Suites numériques et récurrence

La seconde partie applique les résultats précédents à une suite $(u_n)$ définie par $u_{n+1} = f(u_n)$. Pour réussir cette section, le candidat doit savoir :

• Mener une récurrence : Démontrer une propriété d'encadrement (stabilité de l'intervalle) est une compétence standard.
• Étudier la monotonie : Utiliser l'inégalité fonctionnelle établie plus tôt ($f(x) \geqslant x$) pour justifier directement la croissance de la suite sans calculs complexes.
• Théorème de convergence : Conclure sur la convergence d'une suite croissante et majorée.

Ce sujet illustre parfaitement comment l'étude fine d'une fonction (notamment sa convexité) fournit les outils nécessaires à la résolution de problèmes sur les suites.