Analyse de l'exercice : Suites, Fonctions et Intégrales

Cet exercice 3 du Baccalauréat 2024, session Amérique du Sud (Sujet 1), propose un format classique mais exigeant : le questionnaire de type Vrai ou Faux avec justification. Ce type d'épreuve demande une rigueur particulière car une bonne réponse sans justification ne rapporte aucun point, tandis qu'une justification erronée invalide la réponse. L'exercice balaie plusieurs thèmes centraux de l'analyse en Terminale.

Compétences et clés de réussite

1. Convergence et théorème d'encadrement

La première question aborde la convergence d'une suite explicite impliquant un terme alterné \((-1)^n\). La clé ici est de ne pas se laisser déstabiliser par l'oscillation du numérateur. L'élève doit penser immédiatement au théorème des gendarmes (ou théorème de comparaison). Il s'agit d'encadrer le terme \((-1)^n\) par deux constantes, puis de diviser l'inégalité par \(n\) pour étudier la limite des bornes. La notion de divergence doit être maîtrisée : une suite qui ne converge pas n'est pas nécessairement une suite qui tend vers l'infini (elle peut osciller).

2. Suites arithmétiques et suites auxiliaires

La deuxième affirmation traite d'une suite récurrente homographique \((w_n)\) et d'une suite auxiliaire \((t_n)\). Pour prouver qu'une suite est arithmétique, la méthode standard consiste à calculer la différence \(t_{n+1} - t_n\) et à démontrer que le résultat est une constante réelle (la raison), indépendante de \(n\). Une fois la nature arithmétique établie, l'étude de la variation (croissance ou décroissance) dépend uniquement du signe de la raison trouvée.

3. Variations d'une suite récurrente et fonction logarithme

La troisième question lie les suites aux fonctions via la relation \(v_{n+1} = f(v_n)\) avec \(f(x) = \ln(1+x)\). Pour déterminer si la suite est décroissante, il faut étudier le signe de la différence \(v_{n+1} - v_n\), c'est-à-dire le signe de \(\ln(1+v_n) - v_n\). Cette étude passe souvent par l'analyse de la fonction \(g(x) = \ln(1+x) - x\) sur l'intervalle donné (ici les réels positifs). Une connaissance des inégalités classiques du logarithme (position de la courbe par rapport à la tangente en 0) est un atout majeur.

4. Suites d'intégrales et Intégration par Parties

La dernière affirmation porte sur une suite définie par une intégrale \(I_n\). L'objectif est d'établir une relation de récurrence entre \(I_{n+1}\) et \(I_n\). Face à une intégrale de la forme \(\int (\ln x)^n dx\), la méthode privilégiée est l'Intégration par Parties (IPP). Il faut astucieusement choisir les fonctions \(u(x)\) et \(v'(x)\) pour faire apparaître l'expression de \(I_n\) dans le calcul de \(I_{n+1}\). La dérivation de \((\ln x)^{n+1}\) est une étape critique à ne pas manquer.