Analyse du sujet de Géométrie dans l'espace - Centres Étrangers 2021

Cet exercice de géométrie dans l'espace, issu de la session 2021 des Centres Étrangers (Sujet 2), propose une étude classique mais complète dans un cube. Il mobilise l'utilisation d'un repère orthonormé naturel défini par les arêtes du cube pour résoudre des problèmes d'intersection et de nature géométrique de figures.

Compétences et clés de réussite

Pour réussir cet exercice, le candidat doit maîtriser plusieurs savoir-faire fondamentaux du programme de Spécialité Mathématiques :

• Lecture de coordonnées dans l'espace : Savoir déterminer les coordonnées des sommets d'un cube et de points spécifiques (milieux, centres de faces) dans le repère $(A; \vec{AB}, \vec{AD}, \vec{AE})$. C'est la base indispensable pour la suite.
• Représentation paramétrique d'une droite : Être capable de déterminer le système d'équations paramétriques d'une droite connaissant un point et un vecteur directeur (ici déduit par parallélisme).
• Calcul d'intersections : Savoir trouver les coordonnées du point d'intersection entre une droite (donnée par sa représentation paramétrique) et une autre droite ou un plan (souvent définis par des équations simples dans un cube).
• Nature des quadrilatères :
  • Pour démontrer qu'un quadrilatère est un parallélogramme, il faut prouver l'égalité vectorielle (colinéarité et même norme/sens).
  • Pour un losange, il faut ajouter la condition que deux côtés consécutifs sont de même longueur ou que les diagonales sont perpendiculaires (produit scalaire nul).
  • Pour un carré, il faut vérifier qu'il est à la fois un losange et un rectangle (présence d'un angle droit).

Conseils méthodologiques

Dans la Partie A, les calculs se font avec une valeur fixée ($a=2/3$). La rigueur dans le calcul des coordonnées des points K et L est cruciale, car une erreur ici se répercutera sur l'analyse du quadrilatère FJLK. Pensez à vérifier la cohérence de vos résultats (par exemple, un point sur une arête a souvent deux coordonnées constantes).

La Partie B généralise le problème avec un paramètre $a$. Il s'agit de manipuler des expressions algébriques pour déterminer les conditions d'existence de formes géométriques spécifiques (losange, carré). L'utilisation du produit scalaire est souvent l'outil le plus efficace pour traiter l'orthogonalité dans l'espace sans passer par des calculs d'angles complexes.