Compétences et clés de réussite

Cet exercice 4 du sujet 2 du Baccalauréat Asie 2024 aborde de manière classique mais approfondie la géométrie dans l'espace. Il mobilise l'ensemble des outils vectoriels au programme de la spécialité mathématiques, en mettant l'accent sur la notion de projection orthogonale et son lien avec les calculs d'aires.

Analyse de la configuration géométrique

L'exercice débute par une étude de position relative de points par rapport à un plan défini par une équation cartésienne. Pour réussir cette première partie, le candidat doit maîtriser la vérification de l'appartenance d'un point à un plan en testant ses coordonnées dans l'équation fournie. La notion de projeté orthogonal est centrale : il faut savoir démontrer qu'un point est le projeté d'un autre en utilisant la colinéarité du vecteur directeur de la projection avec le vecteur normal au plan (les coefficients de l'équation cartésienne $ax+by+cz+d=0$).

Droites et orthogonalité

La détermination d'une représentation paramétrique de droite est un incontournable. Ici, il s'agit de la droite (AB). La maîtrise du calcul vectoriel est essentielle pour définir un vecteur directeur. Une subtilité apparaît avec la recherche d'un point H, pied de la hauteur issue de C sur (AB). Cela requiert de poser un système d'équations ou d'utiliser les propriétés du produit scalaire (orthogonalité des vecteurs) combinées à l'appartenance à la droite (AB).

Calculs de distances et d'aires

La partie B se concentre sur le calcul de normes de vecteurs pour en déduire des longueurs, et finalement l'aire d'un triangle dans l'espace. La formule classique $\frac{\text{Base} \times \text{Hauteur}}{2}$ s'applique ici, nécessitant d'avoir correctement identifié la hauteur HC calculée précédemment. La rigueur dans le calcul sur les radicaux et les fractions est primordiale pour éviter les erreurs d'étourderie.

Lien entre aire et projection

La dernière partie (Partie C) est la plus conceptuelle et vise à établir une propriété géométrique remarquable concernant le rapport entre l'aire d'un triangle et l'aire de son projeté orthogonal. Les élèves doivent mobiliser la trigonométrie (cosinus d'un angle géométrique) et comprendre la structure 3D formée par le triangle d'origine et son "ombre" sur le plan. Démontrer que le projeté d'un angle droit reste un angle droit sous certaines conditions (théorème des trois perpendiculaires implicite ou calcul vectoriel direct) permet de conclure sur la relation $S' = S \times \cos(\alpha)$.

En résumé, cet exercice demande une excellente vision dans l'espace, une maîtrise des équations de plans et de droites, ainsi qu'une aisance avec le produit scalaire pour traiter les questions d'orthogonalité et de projection.