Analyse du Sujet Bac Maths 2024 Asie Sujet 1 - Exercice 3

L'exercice 3 du sujet du Baccalauréat de mathématiques 2024 pour la zone Asie (Sujet 1) propose une application classique et concrète des probabilités dans le domaine de la santé publique. Le contexte repose sur des données réelles concernant la COVID-19, issues de la revue Lancet Public Health, ce qui permet aux élèves de travailler sur la modélisation mathématique d'une situation épidémiologique.

Ce problème est structuré en trois parties distinctes qui balayent une grande partie du programme de probabilités de Terminale Spécialité Mathématiques : la loi binomiale, les probabilités conditionnelles et l'utilisation de la formule des probabilités totales.

Compétences et clés de réussite

Pour réussir cet exercice, le candidat doit maîtriser plusieurs compétences fondamentales :

• Modéliser une répétition d'épreuves (Partie A) : La première partie exige de reconnaître une situation de schéma de Bernoulli. Il est crucial de justifier l'indépendance des tirages (ici assimilés à un tirage avec remise) et d'identifier les deux issues possibles (succès/échec) pour établir que la variable aléatoire suit une loi binomiale. La maîtrise de la calculatrice est indispensable pour déterminer des probabilités cumulées comme P(X ≥ 2) ou pour trouver le seuil n tel que P(X ≤ n) > 0,9.
• Manipuler les probabilités conditionnelles (Partie B) : Cette section introduit les notions de sensibilité et de spécificité d'un test médical. La clé de la réussite réside dans la traduction correcte de l'énoncé en langage probabiliste (savoir distinguer P(A) de P_B(A)) et dans la construction rigoureuse d'un arbre pondéré. Les candidats doivent ensuite appliquer la formule des probabilités totales pour calculer la probabilité d'un test positif, puis utiliser la formule de Bayes (inversion du conditionnement) pour calculer la probabilité d'être infecté sachant que le test est positif.
• Résoudre un problème inverse (Partie C) : La dernière partie demande plus d'autonomie. Contrairement aux parties précédentes où les paramètres sont donnés pour trouver une probabilité finale, ici la probabilité finale est donnée (taux de tests positifs) et l'élève doit retrouver la proportion initiale d'individus infectés. Cela conduit à la résolution d'une équation du premier degré où l'inconnue est la probabilité de l'événement racine de l'arbre.

En résumé, cet exercice est un excellent entraînement pour vérifier la compréhension des mécanismes probabilistes, la capacité à passer du langage naturel au langage mathématique, et la rigueur dans les calculs d'espérance et de probabilités conditionnelles.