Analyse du sujet : Probabilités et gestion du risque

Cet exercice du Baccalauréat Spécialité Mathématiques, session 2022 pour la zone Asie (Sujet 2), aborde l'un des piliers du programme de Terminale : les probabilités. L'exercice est divisé en deux parties indépendantes, offrant une couverture complète des attendus académiques, allant des probabilités conditionnelles classiques à la modélisation par une loi binomiale dans un contexte économique concret (le surbooking).

Compétences et clés de réussite

1. Maîtriser les probabilités conditionnelles (Partie 1)

La première partie est un classique du genre. Elle demande de modéliser une situation de la vie quotidienne (un trajet vers l'aéroport) à l'aide d'un arbre pondéré. Les compétences clés ici sont :

• Traduction de l'énoncé : Savoir identifier les probabilités simples ($P(B)$) et les probabilités conditionnelles ($P_B(V)$) à partir du texte. Attention aux termes comme "sachant que" ou "si".
• Construction de l'arbre : Un arbre bien construit est la clé de la réussite. Il permet de visualiser les chemins et d'appliquer la formule des probabilités totales sans erreur.
• Formule des probabilités totales : Savoir calculer la probabilité d'un événement final ($V$) en sommant les probabilités des intersections correspondantes.
• Probabilité des causes : La dernière question demande de "remonter le temps" (calculer $P_V(B)$). C'est une application directe de la formule de Bayes simplifiée : $P_V(B) = \frac{P(B \cap V)}{P(V)}$.

2. Modéliser avec la Loi Binomiale (Partie 2)

La seconde partie transporte l'élève dans la gestion des places d'avion. C'est un exemple typique d'application de la loi binomiale. Pour réussir, il faut :

• Justifier la loi : Il ne suffit pas de dire "c'est une loi binomiale". Il faut préciser qu'il s'agit d'une répétition d'épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes (la présence de chaque passager). Il faut identifier clairement les paramètres $n$ (nombre de billets vendus) et $p$ (probabilité de présence).
• Calculatrice et intervalles : Savoir utiliser sa calculatrice pour déterminer $P(X=k)$ ou $P(X \leqslant k)$ est indispensable, tout comme l'interprétation concrète du résultat (probabilité de surbooking).

3. Variables aléatoires et Espérance (Partie 2 suite)

La fin de l'exercice lie les mathématiques à l'économie. L'élève doit manipuler des variables aléatoires ($Y$ pour les passagers refusés, $C$ pour le chiffre d'affaires).

• Transformation affine : Comprendre comment le chiffre d'affaires dépend linéairement du nombre de passagers refusés est crucial ($C = aY + b$).
• Espérance et prise de décision : Le calcul de l'espérance $E(C)$ permet de comparer la stratégie de surbooking à une vente classique. C'est ici que l'élève démontre sa capacité à utiliser les mathématiques comme outil d'aide à la décision.

En résumé, cet exercice numéro 3 du sujet Asie 2 demande de la rigueur dans la notation et une bonne compréhension de la modélisation aléatoire, des bases théoriques jusqu'aux applications concrètes.