Analyse de l'exercice de Géométrie dans l'espace - Bac Asie 2024 (Sujet 1)

Le deuxième exercice du sujet 1 du baccalauréat de mathématiques 2024, zone Asie, propose une étude classique et structurée de géométrie dans l'espace. L'objectif final est de calculer le volume d'une pyramide à base trapézoïdale, ce qui nécessite une suite de démonstrations intermédiaires faisant appel à la majorité des notions au programme de spécialité mathématiques sur ce thème.

Compétences et clés de réussite

Pour traiter cet exercice avec succès, les candidats doivent mobiliser plusieurs savoir-faire techniques :

• Manipulation vectorielle : La première étape consiste souvent à prouver l'alignement ou la coplanarité de points. Ici, il faut savoir démontrer que trois points ne sont pas alignés (vecteurs non colinéaires) et que quatre points sont coplanaires (décomposition vectorielle).
• Reconnaissance de figures géométriques : L'exercice demande de justifier la nature d'un quadrilatère (trapèze). Cela passe par la démonstration du parallélisme de deux côtés opposés via la colinéarité de vecteurs.
• Équations de plans et normales : Une compétence centrale est la capacité à vérifier qu'un vecteur est normal à un plan, puis d'en déduire l'équation cartésienne de ce plan sous la forme ax + by + cz + d = 0.
• Représentation paramétrique de droite : Savoir écrire le système d'équations paramétriques d'une droite, connaissant un point de passage et un vecteur directeur (ici le vecteur normal au plan pour définir la hauteur), est indispensable.
• Intersections et distances : Calculer les coordonnées du point d'intersection entre une droite et un plan, ainsi que la distance entre deux points dans un repère orthonormé, sont des étapes clés pour déterminer la hauteur de la pyramide.
• Projeté orthogonal et calcul d'aires : L'exercice guide le candidat vers le calcul de l'aire de la base en passant par le projeté orthogonal. Il faut savoir vérifier des coordonnées par le calcul de produit scalaire (orthogonalité) et l'appartenance à une droite.
• Calcul de volume : Enfin, l'application de la formule du volume d'une pyramide (V = 1/3 × Base × Hauteur) vient conclure le raisonnement.

Cet exercice est un excellent entraînement pour réviser la géométrie analytique dans l'espace, car il enchaîne logiquement les propriétés d'incidence (droites/plans) et les propriétés métriques (distances/volumes).