Compétences et clés de réussite

Cet exercice du Baccalauréat Mathématiques 2023 (Asie, Sujet 2) est un classique de l'analyse fonctionnelle. Il propose une étude complète d'une fonction composée faisant intervenir le logarithme népérien et la fonction exponentielle. L'objectif est de valider ou d'infirmer des conjectures graphiques à travers une analyse rigoureuse. Voici les compétences essentielles pour réussir ce type d'épreuve.

1. Maîtriser la structure en deux parties (Fonction auxiliaire)

L'exercice est structuré de manière traditionnelle avec une Partie A dédiée à une fonction auxiliaire $g$ et une Partie B pour la fonction principale $f$. Il est crucial de comprendre que l'étude du signe de $g(x)$ dans la première partie servira directement à déterminer le signe de la dérivée $f'(x)$ dans la seconde. Ne négligez pas la précision des calculs dans la partie A, car une erreur ici se répercutera sur tout le reste du problème.

2. Gestion des limites et des formes indéterminées

Pour les fonctions exponentielles, les formes indéterminées du type $\infty - \infty$ sont fréquentes. La technique clé consiste souvent à factoriser par le terme prépondérant (ici $e^{2x}$ ou $e^x$) pour lever l'indétermination. De même, pour la fonction composée $\ln(u)$, il faut maîtriser le théorème de la limite d'une fonction composée : si $u(x) \to +\infty$, alors $\ln(u(x)) \to +\infty$.

3. Dérivation de fonctions composées

La fonction $f$ est de la forme $\ln(u(x))$. La formule de dérivation $(\ln(u))' = \frac{u'}{u}$ est indispensable. L'élève doit être capable de dériver correctement $u(x) = e^{2x} - e^x + 1$ (attention à la dérivée de $e^{2x}$ qui est $2e^{2x}$) et de faire le lien algébrique avec la fonction auxiliaire $g$ étudiée précédemment.

4. Équation de la tangente et TVI

L'exercice demande de déterminer l'équation d'une tangente. La formule $y = f'(a)(x-a) + f(a)$ doit être connue par cœur. Par ailleurs, pour résoudre l'équation $f(x) = k$ (ici $f(x)=2$), l'application du Théorème des Valeurs Intermédiaires (TVI), ou plus précisément son corollaire pour les fonctions strictement monotones, est requise. Il faut vérifier trois conditions : la continuité, la stricte monotonie sur l'intervalle donné, et l'appartenance de la valeur cible à l'image de l'intervalle.

5. Esprit critique et validation des conjectures

La dernière partie (Partie C) teste la capacité de l'élève à confronter ses résultats théoriques aux observations graphiques initiales. Il ne s'agit pas seulement de faire des calculs, mais de donner du sens aux mathématiques en confirmant (ou non) ce que l'œil perçoit sur la courbe. C'est une compétence de synthèse très valorisée.