Compétences et clés de réussite

Cet exercice du baccalauréat 2023 (Asie, Sujet 1) propose une étude classique mais rigoureuse d'une famille de fonctions faisant intervenir le logarithme népérien. L'objectif principal est de discuter du nombre de solutions d'une équation de la forme $\ln(x) = kx$ selon les valeurs du paramètre réel strictement positif $k$.

Lecture graphique et conjectures

La première partie sollicite la capacité du candidat à interpréter des graphiques. Il s'agit de visualiser les points d'intersection entre la courbe du logarithme et des droites passant par l'origine. Cette étape ne nécessite pas de calcul complexe mais une bonne compréhension du lien entre positions relatives de courbes et solutions d'équations.

Étude de fonction et dérivation

Le cœur de l'exercice repose sur l'étude d'une fonction auxiliaire (d'abord pour un cas particulier $k=1$, puis pour le cas général). Les compétences clés incluent :

• Le calcul de la dérivée d'une fonction composée de termes linéaires et logarithmiques.
• L'étude du signe de la dérivée pour établir le tableau de variations.
• Le calcul d'un extremum (ici un maximum) en valeur exacte.

Discussion selon un paramètre

La difficulté s'élève dans la dernière partie où le tableau de variations est donné pour le cas général. La réussite de l'exercice dépend de la capacité à :

• Exprimer la valeur du maximum en fonction de $k$ (terme en $\ln(k)$).
• Utiliser le tableau de variations pour appliquer implicitement le théorème des valeurs intermédiaires ou observer la position du maximum par rapport à 0.
• Résoudre une inéquation logarithmique pour déterminer les plages de valeurs de $k$ modifiant le nombre de solutions.

Cet exercice est un excellent entraînement pour maîtriser l'impact d'un coefficient directeur variable sur les points de contact ou d'intersection avec une courbe concave.