Compétences et clés de réussite

Cet exercice de géométrie dans l'espace, extrait du Baccalauréat 2023 (Asie, Sujet 1), est un classique incontournable pour les élèves de Terminale spécialité mathématiques. Il mobilise l'ensemble des outils analytiques liés au repérage dans l'espace, en s'appuyant sur un support visuel concret : un cube.

1. Maîtrise du calcul vectoriel

La première étape consiste à manipuler les coordonnées dans un repère orthonormé. Il est essentiel de savoir calculer les coordonnées d'un vecteur à partir de deux points et de vérifier l'alignement ou non de trois points. Pour montrer que trois points définissent un plan, il suffit de prouver que les vecteurs formés par ces points ne sont pas colinéaires.

2. Le produit scalaire comme outil de preuve

Le produit scalaire est central ici. Il permet non seulement de déterminer la nature d'un triangle (en vérifiant la présence d'un angle droit si le produit scalaire est nul), mais aussi de calculer des longueurs et des aires. Une bonne maîtrise de la formule analytique du produit scalaire ($XX' + YY' + ZZ'$) est requise.

3. Équations de plans et de droites

L'exercice teste la capacité à passer d'une vision géométrique à une écriture algébrique :

• Le plan : Il faut savoir démontrer qu'un vecteur est normal à un plan (orthogonal à deux vecteurs directeurs non colinéaires du plan) pour en déduire son équation cartésienne de la forme $ax + by + cz + d = 0$.
• La droite : La détermination d'une représentation paramétrique d'une droite orthogonale à un plan nécessite d'utiliser le vecteur normal du plan comme vecteur directeur de la droite.

4. Intersection et projection orthogonale

Une des difficultés techniques réside dans le calcul des coordonnées du projeté orthogonal (le point L). Cela revient à trouver le point d'intersection entre la droite orthogonale et le plan, en résolvant un système d'équations où l'on substitue les expressions paramétriques de la droite dans l'équation cartésienne du plan pour trouver le paramètre $t$.

5. Calcul de volume

Enfin, l'exercice culmine avec le calcul du volume d'un tétraèdre. Il faut appliquer rigoureusement la formule $\frac{1}{3} \times \text{Base} \times \text{Hauteur}$. La réussite de cette dernière question dépend de la justesse des calculs précédents, notamment l'aire du triangle de base et la distance correspondant à la hauteur (distance du point au plan).