Analyse du Sujet de Bac Spécialité Mathématiques - Amérique du Nord 2025

Les épreuves du baccalauréat 2025 ont débuté avec la zone Amérique du Nord, souvent considérée comme un indicateur fiable des tendances pour la session de métropole. Ce sujet, daté du 21 mai 2025, propose un tour d'horizon complet des notions clés du programme de Terminale : probabilités conditionnelles, suites numériques, géométrie dans l'espace et analyse fonctionnelle couplée aux équations différentielles.

Exercice 1 : Probabilités et Loi Binomiale (6 points)

Ce premier exercice ancre les mathématiques dans une situation concrète : la gestion de serveurs informatiques. Il se décompose en deux parties classiques.

• Partie A (Conditionnement) : L'élève doit construire un arbre de probabilité pondéré. La difficulté réside dans l'utilisation de la formule des probabilités totales et la formule de Bayes pour inverser le conditionnement (trouver la probabilité de l'origine connaissant l'état).
• Partie B (Loi Binomiale et Fluctuation) : On passe à une répétition d'épreuves indépendantes (Bernoulli). Les questions demandent de manipuler les paramètres $n$ et $p$, de calculer des probabilités cumulées $P(X \le k)$ et de résoudre une inéquation du type $1 - P(X=0) \ge 0,99$ pour déterminer une taille d'échantillon. La fin de l'exercice aborde la fréquence et l'estimation, testant la compréhension de la loi des grands nombres.

Exercice 2 : Suites Numériques et Algorithmique (5 points)

Un exercice classique sur les suites, mais avec une transformation intéressante.

• Étude de suite : On démarre avec une suite récurrente homographique $u_{n+1} = f(u_n)$. L'originalité vient de l'introduction d'une suite auxiliaire $a_n = \frac{u_n}{u_n-1}$. L'élève doit prouver une relation de récurrence sur $a_n$ (ici $a_{n+1} = 3a_n - 1$), puis utiliser le raisonnement par récurrence pour minorer les termes.
• Limites : Le passage de la limite de $a_n$ vers celle de $u_n$ demande une bonne maîtrise des opérations sur les limites.
• Python : L'exercice se clôt sur un script Python de recherche de seuil. Il ne s'agit pas de produire du code, mais d'interpréter une boucle while pour déterminer quand la suite passe sous une certaine valeur, illustrant la convergence.

Exercice 3 : Géométrie dans l'Espace (4 points)

Proposé sous forme de Vrai/Faux avec justification, cet exercice est souvent redouté car il ne permet pas de "bluff". Il couvre un large spectre :

• Position relative de droites : Démontrer que deux droites ne sont pas coplanaires (ni sécantes, ni parallèles).
• Plans et Droites : Équation cartésienne de plan définie par un point et un vecteur normal (vecteur directeur d'une droite orthogonale).
• Angles et Distances : Calcul d'angle via le produit scalaire et calcul de la distance d'un point à un plan (projeté orthogonal). La rigueur de la rédaction est ici primordiale.

Exercice 4 : Analyse et Équations Différentielles (5 points)

C'est le "gros morceau" d'analyse, mêlant lecture graphique et calcul algébrique.

• Lecture graphique : Identifier une fonction et sa dérivée ($g$ et $g'$) simplement à partir de leurs courbes nécessite de regarder les variations et les annulations.
• Équations Différentielles : Le cœur de l'exercice porte sur la résolution de $y + y' = (2x+3)\text{e}^{-x}$. L'élève doit valider une solution particulière, résoudre l'équation homogène, et combiner les deux. Une question subtile demande de trouver des solutions avec un nombre précis de points d'inflexion (lien avec la dérivée seconde).
• Étude de fonction et Intégration : La dernière partie est une étude complète (limites, dérivée, tableau de variations) d'une fonction exponentielle, finissant par un calcul d'aire nécessitant l'utilisation d'une primitive donnée.

Bilan

Ce sujet Amérique du Nord 2025 est équilibré. Il ne présente pas de piège majeur mais exige une maîtrise solide des fondamentaux : calcul de dérivées, rédaction des récurrences, et rigueur en géométrie vectorielle.