Compétences et clés de réussite

Cet exercice de géométrie dans l'espace, issu du sujet 2 du Baccalauréat Spécialité Mathématiques 2024 pour la zone Amérique du Nord, mobilise l'ensemble des notions classiques du programme de Terminale. Il s'appuie sur une figure géométrique simple (un pavé droit) pour contextualiser des calculs vectoriels et analytiques.

La première difficulté réside dans la bonne lecture du repère orthonormé imposé $\left(\text{A}~;~ \vect{\text{AI}}, \vect{\text{AD}}, \vect{\text{AE}}\right)$. Il est crucial de noter la relation vectorielle $\vect{\text{AB}}= 3 \vect{\text{AI}}$ pour déterminer correctement les coordonnées des sommets du pavé, en particulier le point B et par extension F, G, etc. Une erreur ici se répercuterait sur l'ensemble de l'exercice.

Pour la démonstration concernant le vecteur normal, l'élève doit maîtriser le produit scalaire. La méthode standard consiste à vérifier que le vecteur $\vect{n}$ est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan (HMF), par exemple $\vect{HM}$ et $\vect{HF}$. Une fois la normalité prouvée, l'établissement de l'équation cartésienne du plan est immédiat : $ax + by + cz + d = 0$, où $(a, b, c)$ sont les coordonnées de $\vect{n}$. La valeur de $d$ se trouve en utilisant les coordonnées d'un point appartenant au plan (H, M ou F).

L'exercice teste également la capacité à analyser la position relative de deux plans. Il faut savoir comparer leurs vecteurs normaux respectifs. Si les vecteurs normaux sont colinéaires, les plans sont parallèles.

La seconde moitié de l'exercice se concentre sur les objets rectilignes. L'étudiant doit savoir écrire une représentation paramétrique d'une droite (ici la droite DG) en utilisant un point de passage et un vecteur directeur. La résolution de systèmes d'équations est ensuite nécessaire pour trouver le point d'intersection $N$ entre la droite (DG) et le plan (HMF). Cela implique d'injecter les équations paramétriques de la droite dans l'équation cartésienne du plan pour trouver la valeur du paramètre $t$.

Enfin, la notion de projeté orthogonal est abordée. Pour vérifier si un point R est le projeté orthogonal d'un point G sur un plan, deux conditions doivent être réunies : le vecteur $\vect{RG}$ doit être colinéaire au vecteur normal du plan (orthogonalité), et le point R doit vérifier l'équation du plan (appartenance). Cette question de synthèse permet de valider la bonne compréhension des concepts de distance et d'orthogonalité dans l'espace.