Analyse du Sujet Bac 2022 Amérique du Sud Sujet 2 - Exercice 1

Cet exercice est un classique des épreuves du baccalauréat en mathématiques, portant sur les probabilités discrètes appliquées à un contexte industriel. Il permet d'évaluer la capacité de l'élève à modéliser une situation aléatoire, à utiliser les outils conditionnels et à manipuler la loi binomiale.

Compétences et clés de réussite

Pour réussir cet exercice, le candidat doit maîtriser plusieurs notions fondamentales du programme de spécialité mathématiques :

• Construction d'un arbre pondéré : La première étape consiste à traduire les pourcentages donnés dans l'énoncé (répartition de la production entre les chaînes et taux de défauts associés) en un arbre de probabilités. Il est crucial de bien distinguer les probabilités simples (choix de la chaîne) des probabilités conditionnelles (défaut sachant la chaîne).
• Formule des probabilités totales : L'exercice demande de calculer la probabilité globale qu'une pièce soit défectueuse. L'élève doit savoir identifier que les événements correspondants aux trois chaînes forment une partition de l'univers et sommer les probabilités des intersections.
• Probabilités conditionnelles inversées : Une question classique de type « sachant que la pièce est défectueuse, quelle est la probabilité qu'elle vienne de la chaîne 3 ? » nécessite une application rigoureuse de la définition de la probabilité conditionnelle $P_B(A) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$.
• Loi Binomiale et échantillonnage : La partie B modélise la constitution de lots. Il faut justifier l'utilisation de la loi binomiale (épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes) en précisant les paramètres $n$ et $p$. Les calculs portent sur des probabilités exactes ($P(X=k)$) et l'événement contraire (au moins un défaut se calcule souvent via $1 - P(X=0)$).
• Résolution d'inéquations avec logarithme : La détermination de la taille maximale d'un lot pour garantir un certain niveau de qualité demande de résoudre une inéquation où l'inconnue est en exposant. L'utilisation du logarithme népérien ($ln$) est ici indispensable pour isoler $n$.
• Espérance mathématique (Coût moyen) : La dernière partie requiert de calculer une moyenne pondérée (espérance) des coûts de fabrication selon la provenance des pièces. C'est une application directe de la formule de l'espérance $E(C) = \sum p_i \times x_i$.

Cet exercice offre une excellente révision car il balaie l'ensemble du spectre des probabilités discrètes attendu en classe de Terminale, en mêlant interprétation de texte, calculs rigoureux et modélisation mathématique.