Compétences et clés de réussite

Cet exercice 4 du sujet 2 d'Asie 2023 est un QCM (Questionnaire à Choix Multiples) qui balaie plusieurs thèmes fondamentaux du programme de spécialité mathématiques. Il demande de la rigueur dans la lecture des énoncés et une bonne maîtrise des outils probabilistes et des suites numériques.

1. Suites arithmétiques et dénombrement

La première partie de l'exercice repose sur la manipulation d'une suite arithmétique. Pour réussir la première question, le candidat doit identifier le premier terme et la raison de la suite à partir de la liste fournie. La difficulté réside dans le calcul du nombre de termes. Il est impératif de connaître la formule du terme général $u_n = u_0 + n \times r$ pour retrouver l'indice du dernier terme, ou d'utiliser la formule liant le premier et le dernier terme pour déduire le nombre d'éléments de la liste.

2. Probabilités élémentaires et parité

La question sur la parité des nombres d'une suite arithmétique demande une analyse logique. Il faut observer l'alternance (ou non) des termes pairs et impairs en fonction du premier terme et de la raison. Si la raison est impaire, la parité change à chaque terme. Une astuce consiste à compter le nombre de termes pairs et impairs dans la liste définie précédemment pour établir la probabilité correcte.

3. Probabilités conditionnelles et arbres pondérés

Le cœur de l'exercice porte sur l'analyse d'un arbre pondéré et des événements associés (multiples de 4, chiffre des unités). Les clés de réussite sont :

• La lecture précise de l'arbre pour extraire les probabilités conditionnelles (branches secondaires) et les probabilités des événements racines.
• La distinction entre l'intersection $P(A \cap B)$ et la probabilité conditionnelle $P_B(A)$.
• L'utilisation de la formule de Bayes ou la définition de la probabilité conditionnelle : $P_B(A) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$. Ici, $P(B)$ doit souvent être calculé via la formule des probabilités totales en sommant les chemins menant à B.

4. Répétition d'épreuves et schéma de Bernoulli

La dernière question aborde la répétition d'expériences aléatoires identiques et indépendantes (tirage avec remise). C'est le contexte classique de la loi binomiale ou du schéma de Bernoulli. Pour calculer la probabilité qu'aucun événement ne se réalise sur $n$ tirages, il faut raisonner sur l'événement contraire ou multiplier les probabilités de l'échec $n$ fois. La maîtrise des notations de puissances et la compréhension de l'événement "aucun multiple de 4" sont essentielles pour identifier la bonne formule parmi les choix proposés.