Bienvenue sur cette page dédiée au corrigé détaillé de l'exercice 3 du Baccalauréat de Mathématiques, issu du sujet 2 tombé en Amérique du Sud en 2025. Cet exercice est un grand classique de l'épreuve de spécialité et s'articule autour du thème central des suites numériques. Il évalue de manière très complète votre capacité à manipuler des suites imbriquées, tout en mobilisant vos connaissances sur les fonctions exponentielle et logarithme népérien, sans oublier une dimension algorithmique incontournable.

Compétences et clés de réussite

Pour aborder cet exercice avec sérénité et maximiser vos points le jour du Bac, il est essentiel de maîtriser plusieurs savoir-faire fondamentaux. Voici une analyse détaillée des compétences testées :

1. Utilisation du tableur et formulation de conjectures

La première partie de l'exercice fait appel à vos connaissances pratiques sur l'utilisation d'un tableur. Vous devrez être capable de lire, comprendre et identifier la bonne formule destinée à être étirée vers le bas pour remplir une colonne. Cette compétence permet de générer les premiers termes d'une suite et d'en déduire une conjecture quant à son sens de variation. La rigueur dans la syntaxe (utilisation du signe égal, parenthèses, références relatives des cellules) est ici primordiale.

2. Le raisonnement par récurrence

Dès lors qu'une conjecture est posée, la validation mathématique formelle prend le relais. Le raisonnement par récurrence est l'outil phare pour démontrer le sens de variation d'une suite définie par une relation de récurrence de type v_n+1 = f(v_n). Il faut impérativement structurer sa réponse en étapes claires : l'initialisation, l'hérédité (en veillant à bien utiliser les propriétés de la fonction sous-jacente, notamment la stricte croissance du logarithme népérien et de la fonction exponentielle) et la conclusion.

3. Suites géométriques et passage à la forme explicite

L'exercice introduit une suite auxiliaire (ici, w_n). La stratégie classique et très fréquente au Baccalauréat consiste à démontrer que cette nouvelle suite est géométrique. Pour ce faire, l'évaluation de w_n+1 en fonction de w_n est incontournable. Une fois la nature de la suite prouvée, vous pouvez exprimer w_n en fonction de l'entier n, ce qui vous permet par un simple réarrangement algébrique de remonter à la forme explicite de la suite initiale v_n.

4. Étude de limites avec exponentielles et logarithmes

Une fois l'expression explicite de la suite v_n solidement établie, vous devez en déterminer la limite. Cela requiert une bonne maîtrise des théorèmes de composition et d'opérations sur les limites, ainsi que des propriétés asymptotiques des fonctions de référence. Savoir décomposer le calcul de la limite et rédiger la justification pas à pas est essentiel pour ne perdre aucun point sur la rédaction.

5. Analyse d'un algorithme en Python

Enfin, la dernière question de cet exercice porte sur la compréhension d'un script écrit en langage Python. Vous y trouverez une boucle conditionnelle while (tant que). L'objectif est de justifier l'arrêt de cette boucle, c'est-à-dire de prouver que l'algorithme se termine toujours et renvoie bien une valeur, quelle que soit la cible choisie. Cela fait directement écho à la limite infinie de la suite étudiée précédemment. Relier le comportement asymptotique de la suite au fonctionnement de l'algorithme est la clé pour clôturer brillamment cet exercice.

En vous entraînant sur ce type d'énoncé, vous consolidez un très large panel de techniques exigibles pour l'épreuve de spécialité mathématiques. N'hésitez pas à refaire les démonstrations par vous-même pour parfaire vos automatismes !