Analyse du QCM : Probabilités et Loi Binomiale

Cet exercice 4 du sujet de Baccalauréat 2023 (Centres Étrangers Groupe 2, Sujet 2) est un questionnaire à choix multiple (QCM) qui se concentre exclusivement sur les probabilités discrètes et l'algorithmique. Le contexte industriel (chaîne de fabrication de pièces mécaniques) permet de modéliser une situation de répétition d'épreuves indépendantes, menant naturellement à l'utilisation de la loi binomiale.

Compétences et clés de réussite

Pour réussir ce QCM sans pénalité (les mauvaises réponses ne retirant pas de points), le candidat doit maîtriser plusieurs concepts fondamentaux du programme de spécialité mathématiques :

• Identifier une loi binomiale : Il est crucial de reconnaître les mots-clés de l'énoncé ("tirage avec remise", "indépendantes", "succès/échec"). Ici, il faut identifier les paramètres $n$ (nombre de répétitions) et $p$ (probabilité du succès, ici une pièce défectueuse).
• Gérer l'événement contraire : La première question demande la probabilité de tirer "au moins une" pièce défectueuse ($P(X \geq 1)$). La méthode la plus efficace et rapide est de passer par l'événement contraire "aucune pièce défectueuse" ($1 - P(X=0)$), évitant ainsi des sommes complexes.
• Manipuler les écritures probabilistes : Savoir traduire des intervalles est essentiel. Par exemple, comprendre comment décomposer $P(a < X \leq b)$ en utilisant la fonction de répartition cumulative ($P(X \leq k)$) est une compétence testée dans la deuxième question.
• Inéquations et seuils : La recherche du plus petit entier $k$ pour atteindre une probabilité cumulée (souvent 95%) nécessite soit l'utilisation de la calculatrice (fonctions statistiques/distrib), soit une compréhension fine des tables de la loi binomiale.
• Interprétation d'algorithmes Python : La dernière partie de l'exercice lie mathématiques et programmation. Il faut analyser la condition de la boucle while. Ici, l'expression 1 - 0.96**n représente mathématiquement $1 - P(X=0)$, soit la probabilité d'avoir au moins un succès. Comprendre ce lien permet de déterminer ce que renvoie la fonction seuil sans avoir à exécuter le code mentalement pas à pas.

Ce type d'exercice demande de la rigueur dans la lecture des énoncés et une bonne familiarité avec la calculatrice pour gagner du temps sur les calculs numériques.