Analyse globale de l'exercice

L'exercice 4 du sujet 1 du Baccalauréat de Mathématiques 2024 (Métropole) est un problème d'analyse complet, typique des épreuves de spécialité. Il combine l'étude classique d'une fonction logarithme népérien avec des notions plus avancées comme la convexité et le calcul intégral appliqué à la géométrie plane. L'exercice est structuré en trois parties interdépendantes, nécessitant une bonne gestion des résultats intermédiaires.

Compétences et clés de réussite

Pour réussir cet exercice, les candidats doivent maîtriser plusieurs compétences fondamentales du programme de Terminale :

• Calcul de limites et dérivées : Savoir lever des indéterminations classiques en zéro et en l'infini pour la fonction logarithme, et calculer des dérivées premières et secondes sans erreur de signe.
• Étude de la convexité : Analyser le signe de la dérivée seconde pour déterminer si la fonction est convexe ou concave.
• Théorème des valeurs intermédiaires (TVI) : Justifier l'existence et l'unicité d'une solution α à l'équation f(x) = 0, puis encadrer cette solution.
• Lien entre dérivée et variations : Utiliser une fonction auxiliaire pour déterminer le signe de la dérivée d'une seconde fonction complexe.
• Calcul intégral : Calculer une intégrale définie, potentiellement via une intégration par parties ou par vérification de primitive, pour déterminer une aire sous la courbe.

Partie A : Étude de la fonction auxiliaire

La première partie se concentre sur une fonction f mêlant fonction affine et logarithme. L'étude des variations passe par le calcul de la dérivée, qui se simplifie sous forme rationnelle. Un point clé est l'étude de la convexité via la dérivée seconde. Le cœur de cette partie réside dans l'application du corollaire du TVI pour isoler la constante α, qui servira de paramètre pour la suite du problème. Il est crucial de bien démontrer la relation algébrique liant ln(α) et α.

Partie B : Fonction composée et variations

Cette section introduit une fonction g définie sur l'intervalle unité. La difficulté technique réside dans le calcul de sa dérivée et la reconnaissance de la structure f(1/x). L'élève doit faire preuve de rigueur pour faire le lien entre le signe de f (étudié en partie A) et les variations de g, en tenant compte du changement de variable implicite.

Partie C : Calcul d'aire et géométrie

La dernière partie est une application géométrique. Il s'agit de calculer l'aire comprise entre deux courbes. Cela nécessite d'abord d'étudier la position relative des courbes (signe de la différence des fonctions). Le calcul final de l'intégrale demande de manipuler une expression de la forme x² ln(x). Enfin, l'expression de l'aire en fonction de α demande de réinjecter l'égalité démontrée en partie A pour simplifier le résultat final. C'est un exercice de synthèse exigeant qui valorise la précision algébrique.