Compétences et clés de réussite

Cet exercice de géométrie dans l'espace, issu du sujet 1 du Baccalauréat 2024 pour la zone Amérique du Sud, traite d'une problématique classique mais exigeante : le calcul de la distance entre deux droites non coplanaires. Pour réussir cet exercice, il est indispensable de maîtriser les différents modes de représentation des objets géométriques dans un repère orthonormé.

Tout d'abord, les élèves doivent être à l'aise avec la représentation paramétrique d'une droite. Il s'agit de savoir traduire les coordonnées d'un point et les composantes d'un vecteur directeur en un système d'équations dépendant d'un paramètre réel. La capacité à démontrer que deux droites ne sont pas coplanaires est également testée ; cela implique généralement de prouver qu'elles ne sont ni parallèles (vecteurs directeurs non colinéaires) ni sécantes (résolution de système).

Ensuite, l'exercice demande de manipuler l'équation cartésienne d'un plan. Savoir vérifier qu'une équation donnée correspond bien au plan défini par un point et deux vecteurs directeurs est une compétence fondamentale. De plus, l'interaction entre les droites et les plans est au cœur du sujet : il faut savoir déterminer les coordonnées du point d'intersection entre une droite (donnée par sa représentation paramétrique) et un plan (donné par son équation cartésienne) en résolvant une équation linéaire simple.

Enfin, la dernière partie de l'exercice guide le candidat vers la méthode de la perpendiculaire commune pour évaluer la distance minimale entre deux droites de l'espace. Il ne s'agit pas seulement d'appliquer une formule, mais de comprendre la construction géométrique : identifier les points E et F tels que la droite (EF) soit orthogonale aux deux droites initiales. La maîtrise du produit scalaire est ici cruciale pour valider l'orthogonalité, avant de conclure par un calcul de distance entre deux points à l'aide de leurs coordonnées.