Analyse de l'exercice : Géométrie dans l'espace et Sphères

L'exercice 2 du sujet 2 du Baccalauréat de mathématiques 2023 pour la zone Amérique du Sud est un problème classique et complet de géométrie dans l'espace. Il mobilise l'ensemble des notions fondamentales du programme de spécialité, allant de la manipulation vectorielle élémentaire à l'étude plus complexe des positions relatives entre plans et sphères.

Ce type d'exercice, noté généralement sur 5 à 7 points, requiert une grande rigueur dans la rédaction et une parfaite connaissance des caractérisations vectorielles des objets géométriques (droites, plans, sphères).

Compétences et clés de réussite

1. Caractérisation d'un plan et vecteurs normaux

La première partie de l'exercice demande de vérifier que trois points définissent un plan. La clé ici est de démontrer que les deux vecteurs formés par ces points ne sont pas colinéaires. Ensuite, l'introduction du vecteur normal est centrale. Pour réussir, l'élève doit savoir vérifier qu'un vecteur est orthogonal à deux vecteurs directeurs non colinéaires du plan en utilisant le produit scalaire. Une fois le vecteur normal validé, l'obtention de l'équation cartésienne du plan (de type $ax + by + cz + d = 0$) est une application directe du cours.

2. Projeté orthogonal et distance

Une compétence technique majeure évaluée ici est la détermination des coordonnées du projeté orthogonal d'un point sur un plan. La méthode infaillible consiste à déterminer une représentation paramétrique de la droite passant par le point et dirigée par le vecteur normal au plan. L'intersection de cette droite avec le plan donne les coordonnées du projeté. Cette étape est cruciale car elle permet souvent de calculer la distance d'un point à un plan, notion réutilisée pour étudier la position relative d'une sphère et d'un plan.

3. Sphères et Plans tangents

L'exercice introduit une sphère et interroge sur sa relation avec le plan (ABC) puis avec un autre plan $\mathcal{P}$. Pour justifier qu'un plan est tangent à une sphère, il faut comprendre la géométrie de la situation : la distance du centre de la sphère au plan doit être exactement égale au rayon. De plus, le rayon au point de contact doit être orthogonal au plan tangent. L'élève doit être capable de traduire ces conditions géométriques en calculs de distances ou en vérifications de produits scalaires nuls.

4. Intersection de deux plans

Enfin, la dernière question porte sur l'intersection de deux plans sécants. Le résultat attendu est une représentation paramétrique d'une droite. La méthode classique consiste à résoudre le système formé par les deux équations cartésiennes. L'astuce consiste à poser l'une des variables (souvent $x$, $y$ ou $z$) égale à un paramètre $t$, puis d'exprimer les deux autres variables en fonction de ce paramètre. Cela permet de générer l'équation de la droite $(\Delta)$ demandée.

En résumé, cet exercice est un excellent entraînement pour structurer ses calculs vectoriels et visualiser les configurations spatiales (tangence, orthogonalité, intersection).