Compétences et clés de réussite

Cet exercice de géométrie dans l'espace, issu du Baccalauréat Spécialité Mathématiques 2025 pour la zone Polynésie (Sujet 1), propose une application concrète de la modélisation mathématique au contrôle aérien. Pour réussir ce type de problème, il est essentiel de maîtriser plusieurs concepts clés du programme.

1. Représentations paramétriques de droites

Le cœur de l'exercice repose sur la capacité à passer d'une description géométrique (un point et un vecteur directeur) à une représentation paramétrique, et inversement. L'élève doit savoir identifier le vecteur directeur $\vec{u}(a; b; c)$ et le point de passage $A(x_A; y_A; z_A)$ pour écrire le système d'équations paramétriques associé à la trajectoire d'un objet mobile.

2. Étude de positions relatives

L'analyse des intersections est omniprésente :

• Intersection droite-plan : Savoir déterminer le point d'impact au sol (plan d'équation $z=0$) en résolvant une équation simple issue du système paramétrique.
• Intersection droite-droite : Pour étudier une collision potentielle, il faut savoir confronter deux représentations paramétriques (en utilisant deux paramètres distincts, par exemple $t$ et $t'$) et résoudre le système résultant pour voir s'il admet une solution unique.

3. Équations cartésiennes de plans et orthogonalité

Une partie technique de l'exercice demande de justifier l'équation d'un plan défini par un point et une direction normale. Il est crucial de comprendre que si un plan est perpendiculaire à une droite, le vecteur directeur de cette droite sert de vecteur normal au plan. L'utilisation du produit scalaire ou la forme canonique de l'équation cartésienne $ax + by + cz + d = 0$ permet d'aboutir au résultat.

4. Calculs de distances et interprétation concrète

La fin de l'exercice connecte la théorie à la pratique via le calcul de la distance entre deux points dans un repère orthonormé. La maîtrise de la formule de la norme d'un vecteur est indispensable. Enfin, la capacité à convertir les unités (kilomètres, mètres, milles nautiques) et à faire preuve d'esprit critique face aux résultats numériques est évaluée pour répondre à la problématique de sécurité aérienne.