Compétences et clés de réussite

L'exercice 1 du sujet de mathématiques du Baccalauréat d'Amérique du Nord 2026 (Sujet 1) constitue une évaluation complète et structurée de vos connaissances en probabilités. Il aborde de manière progressive les probabilités conditionnelles, la loi binomiale, ainsi que l'étude approfondie des variables aléatoires. Ce type d'exercice classique nécessite rigueur et méthode. Voici un aperçu détaillé des compétences attendues pour réussir de façon optimale cet exercice.

Modélisation avec les probabilités conditionnelles

La première partie de l'exercice met l'accent sur votre capacité à traduire une situation concrète (ici, le choix d'abonnements à une plateforme musicale) sous forme de modèle mathématique. L'outil privilégié est l'arbre de probabilités. Il est indispensable de savoir :

• Construire et compléter un arbre pondéré : Lire attentivement l'énoncé pour en extraire les proportions (assimilées à des probabilités) et les probabilités conditionnelles. La règle des nœuds, statuant que la somme des probabilités issues d'un même nœud vaut 1, est ici cruciale pour compléter les branches manquantes.
• Calculer la probabilité d'une intersection : Utiliser la formule classique liant la probabilité conditionnelle et la probabilité de l'intersection de deux événements.
• Appliquer la formule des probabilités totales : Cette compétence est régulièrement testée au baccalauréat. Vous devez être capable de justifier proprement que les événements initiaux forment une partition de l'univers avant de calculer la probabilité totale d'un événement global.
• Inverser le conditionnement : Savoir utiliser la formule de Bayes (souvent implicitement) pour déterminer la probabilité d'origine sachant le résultat final, tout en maîtrisant les règles d'arrondis demandées par l'énoncé.

Maîtrise de la loi binomiale et résolution d'inéquations

La deuxième partie introduit la répétition d'expériences identiques et indépendantes. Les notions clés à maîtriser sont les suivantes :

• Justifier et utiliser une loi binomiale : Il faut identifier clairement le schéma de Bernoulli, puis justifier son extension en loi binomiale en précisant la probabilité du succès et le nombre de répétitions (les paramètres de la loi).
• Calculs de probabilités : Savoir formuler le calcul de la probabilité de n'obtenir aucun succès sur les tirages effectués.
• Traiter l'événement « au moins un » : Utiliser l'événement contraire pour simplifier grandement les calculs. L'expression algébrique de cette probabilité en fonction de n est une étape incontournable.
• Résoudre une inéquation avec des puissances : Déterminer un seuil critique implique généralement de poser une inéquation et de la résoudre en appliquant la fonction logarithme népérien. Il faut prêter une attention particulière au changement de sens de l'inégalité lors de la division par un logarithme de valeur négative.

Variables aléatoires et Inégalité de Bienaymé-Tchebychev

La dernière partie mobilise des compétences avancées sur les variables aléatoires discrètes, en y introduisant une dimension économique. Vous devez démontrer vos aptitudes à :

• Définir la loi de probabilité : Lister l'ensemble des valeurs possibles prises par la variable aléatoire en combinant les coûts de base et les options, puis y associer les probabilités correspondantes pour dresser un tableau de loi.
• Calculer l'espérance mathématique : Appliquer la définition de l'espérance et surtout, formuler une interprétation concrète du résultat dans le contexte de l'énoncé (coût moyen par abonné).
• Mobiliser l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev : C'est la véritable subtilité de cette fin d'exercice. Face à une affirmation portant sur un intervalle de valeurs autour de l'espérance, l'utilisation de l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev permet de minorer la probabilité d'un écart donné, sans même connaître la loi de probabilité sous-jacente de la variable. C'est une compétence pointue et discriminante qui valorisera grandement votre copie.

En somme, cet exercice est un formidable outil d'évaluation. Il fait appel à votre logique mathématique, à votre capacité de modélisation et à votre rigueur algébrique. Détailler vos justifications vous assurera de récolter un maximum de points.