Compétences et clés de réussite

Cet exercice du Baccalauréat de mathématiques, issu du sujet 2 de la zone Asie en 2026, propose une mise en application concrète et transversale de plusieurs notions majeures du programme de terminale. À travers le prisme d'une situation tirée du domaine sportif, à savoir l'analyse de la réussite de lancers-francs lors de compétitions de basketball, le candidat est amené à mobiliser de façon conjointe ses connaissances approfondies en probabilités discrètes et en analyse fonctionnelle. L'exercice se divise en deux parties distinctes et complémentaires, évaluant un large spectre de compétences mathématiques et analytiques.

Modélisation probabiliste et loi binomiale

La première partie de cet exercice est entièrement consacrée aux probabilités discrètes et à la modélisation d'une situation aléatoire. Le contexte indique clairement que les lancers successifs sont effectués dans des conditions strictement identiques et de manière totalement indépendante, ce qui constitue la clé de voûte de cette section. Le candidat devra s'attacher à démontrer les points suivants :

• Reconnaître, définir et justifier le modèle probabiliste : Il est absolument indispensable d'identifier que la répétition d'épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes conduit inévitablement à modéliser la situation étudiée par une loi binomiale. La précision des paramètres de cette loi, à savoir le nombre total d'essais (noté n) et la probabilité de succès à chaque essai (notée p), doit être justifiée avec une grande rigueur rédactionnelle.
• Maîtriser les caractéristiques mathématiques et leur sens : L'exercice demande de déterminer l'espérance mathématique de cette variable aléatoire. Au-delà de l'application de la formule du cours, la véritable compétence évaluée ici réside dans la capacité à interpréter ce résultat théorique et abstrait dans le contexte concret et pratique du problème posé (comme par exemple, le nombre moyen de réussites que le joueur peut espérer sur une longue série de lancers).
• Effectuer des calculs de probabilités complexes : Le calcul de la probabilité d'un nombre précis et fixe de succès, ainsi que l'évaluation analytique de probabilités cumulées (par exemple, la probabilité d'obtenir "au moins" ou "au plus" un certain nombre de réussites), requiert une maîtrise totale de l'expression de la loi binomiale, des coefficients binomiaux et, très souvent, une utilisation experte des fonctionnalités statistiques de la calculatrice.

Analyse de fonction polynomiale et résolution d'équation

La deuxième partie du sujet opère une transition particulièrement intéressante vers l'analyse mathématique pure, tout en conservant le lien étroit avec le contexte probabiliste initial (la recherche d'une probabilité de réussite spécifique fixée comme objectif). Elle s'articule autour de l'étude rigoureuse d'une fonction polynomiale de degré 3, modélisant la probabilité globale de réussir au moins deux tirs sur trois en fonction de la probabilité de réussite initiale p. Les compétences attendues de la part de l'élève comprennent :

• Expression algébrique rigoureuse des probabilités : Le candidat doit être capable de construire et d'utiliser un arbre de probabilités ou de mobiliser ses connaissances sur la loi de probabilité d'une variable aléatoire pour exprimer différentes probabilités en fonction du paramètre variable p. Le passage délicat du problème probabiliste concret à l'expression polynomiale abstraite demande méthode, précision et clarté.
• Étude complète et systématique d'une fonction : L'étude des variations de la fonction sur un intervalle restreint et fermé implique obligatoirement le calcul sans erreur de la fonction dérivée, l'étude minutieuse de son signe, et la construction d'un tableau de variations exhaustif, incluant le calcul précis des valeurs aux bornes de l'intervalle d'étude.
• Application maîtrisée du Théorème des Valeurs Intermédiaires (TVI) : La démonstration de l'existence et de l'unicité d'une solution à une équation spécifique du type f(x) = k repose fondamentalement sur l'utilisation pertinente du corollaire du théorème des valeurs intermédiaires (souvent appelé théorème de la bijection). Les conditions préalables d'application, à savoir la continuité et la stricte monotonie de la fonction sur l'intervalle donné, doivent être explicitement vérifiées et mentionnées dans la copie.
• Méthode d'encadrement et interprétation finale : L'utilisation judicieuse du mode table de la calculatrice graphique est indispensable pour déterminer par balayage un encadrement précis, à une amplitude donnée, de la solution trouvée. Enfin, une conclusion soigneusement rédigée est attendue pour redonner du sens à ce résultat purement mathématique, en le reliant de manière explicite avec l'objectif initial de performance du joueur de basketball.

En conclusion, ce sujet d'examen constitue un excellent exercice de synthèse pour vérifier la capacité des élèves à articuler sans difficulté la modélisation probabiliste et l'analyse détaillée de fonctions polynomiales, deux piliers incontournables du programme de mathématiques.