Analyse de l'exercice : Fondamentaux de l'analyse en STL
Cet exercice issu de la session de septembre 2024 pour la série STL (Sciences et Technologies de Laboratoire) constitue une excellente base de révision pour les élèves de terminale. Il balaie quatre compétences fondamentales du programme de mathématiques : la manipulation de l'exponentielle, la résolution d'équations logarithmiques, la recherche de primitives et le calcul d'intégrales. Bien que les questions soient indépendantes, elles forment un socle de connaissances indispensables pour réussir les problèmes plus complexes de fin d'épreuve.
Détails des compétences techniques requises
La Question 1 évalue la capacité de l'élève à manipuler la fonction exponentielle. L'enjeu est ici de ne pas commettre d'erreur de priorité opératoire et de connaître la valeur remarquable $e^0 = 1$. C'est un point de vigilance classique : multiplier avant d'ajouter.
Dans la Question 2, on aborde les équations de type $\ln(u(x)) = k$. La résolution nécessite l'application de la fonction réciproque (l'exponentielle) pour lever le logarithme. L'élève doit également s'assurer que la solution trouvée appartient bien à l'intervalle de définition fourni, ici $]-1/2 ; +\infty[$. Cette rigueur est souvent ce qui différencie une bonne copie d'une excellente copie.
La Question 3 porte sur le calcul de primitives. La fonction $g(x) = 9x^2 + 10x$ est une fonction polynomiale simple. L'élève doit appliquer la formule $x^n \rightarrow \frac{x^{n+1}}{n+1}$. Pour $9x^2$, on obtient $9 \times \frac{x^3}{3} = 3x^3$. Pour $10x$, on obtient $10 \times \frac{x^2}{2} = 5x^2$. La maîtrise de ces automatismes est cruciale pour gagner du temps lors des épreuves de spécialité.
Enfin, la Question 4 introduit le calcul intégral. Fait notable : la primitive est déjà fournie dans l'énoncé. Cela permet de tester spécifiquement la capacité à appliquer le théorème fondamental de l'analyse : $\int_a^b f(x)dx = F(b) - F(a)$. Ici, il s'agit de calculer $F(1) - F(0)$. C'est une question de pure méthode qui récompense la précision du calcul numérique.
Conseils pédagogiques pour les révisions
- Automatisation : Pratiquez régulièrement les dérivées et primitives des fonctions usuelles (puissances, ln, exp).
- Rigueur : Vérifiez toujours vos ensembles de définition avant de conclure sur une solution d'équation.
- Lecture d'énoncé : Dans la question 4, ne cherchez pas à recalculer la primitive si elle est déjà donnée ! Utilisez les informations fournies pour aller plus vite.
En conclusion, cet exercice de la session Métropole 2024 est un parfait indicateur du niveau attendu en début d'épreuve. Il ne présente pas de piège majeur mais exige une application stricte des règles de calcul algébrique.