Analyse du Sujet Bac Spé Maths 2022 - Amérique du Nord (Jour 2)

Le sujet du baccalauréat de spécialité mathématiques tombé en Amérique du Nord le 19 mai 2022 (Jour 2) est un excellent support de révision. Il couvre une large partie du programme de Terminale avec un équilibre classique entre analyse, probabilités et géométrie. Voici une décortication pédagogique des quatre exercices proposés pour vous aider à comprendre les attentes du correcteur.

Exercice 1 : Probabilités et Suites (Le modèle des vélos partagés)

Thèmes : Probabilités conditionnelles, Arbres pondérés, Suites arithmético-géométriques, Limites.

Cet exercice est un grand classique des sujets de bac : la modélisation d'une évolution par des probabilités qui se transforment en étude de suite. Le contexte est celui d'une location de vélos entre deux bornes A et B.

• Les pièges à éviter : La construction de l'arbre pondéré pour l'étape $n$ vers $n+1$ est souvent source d'erreur. Il faut bien identifier que la somme des probabilités sur les branches issues d'un même nœud vaut 1.
• Compétences clés : On vous demande de passer d'une relation probabiliste (via la formule des probabilités totales) à une relation de récurrence du type $a_{n+1} = 0,6a_n + 0,24$. Ensuite, la démonstration par récurrence et le calcul de limite (l'état stable du système) sont des automatismes à maîtriser absolument.

Exercice 2 : Fonctions, Exponentielle et Convexité (Le Toboggan)

Thèmes : Étude de fonction, Théorème des valeurs intermédiaires (TVI), Convexité, Points d'inflexion.

L'exercice est structuré en deux parties classiques (Partie A : fonction auxiliaire / Partie B : fonction principale), mais il se termine par une application concrète originale : la modélisation d'un toboggan.

• Analyse : La Partie A sert à étudier le signe d'un polynôme de degré 3 pour déterminer le signe de la dérivée dans la Partie B. C'est un schéma très fréquent.
• La difficulté "Toboggan" : La question sur les "bonnes sensations" du toboggan repose sur la notion de point d'inflexion (changement de convexité). On vous donne la dérivée seconde $f''(x)$, il faut donc étudier ses changements de signe. Ne vous laissez pas intimider par l'expression complexe de $f''(x)$, utilisez le résultat de la Partie A !

Exercice 3 : Géométrie dans l'espace (L'exposition d'art)

Thèmes : Repère orthonormé, Produit scalaire, Équation cartésienne de plan, Représentation paramétrique de droite.

Un exercice très complet qui demande une bonne vision dans l'espace. Le contexte est une salle d'exposition avec des œuvres et des lasers.

• Points techniques : Vous devrez calculer un angle via le produit scalaire, justifier qu'un vecteur est normal à un plan, et déterminer l'intersection entre une droite (le rayon laser) et un plan (le triangle de verre).
• Le défi final : La dernière partie demande de trouver la position d'une source lumineuse pour que deux rayons soient perpendiculaires. Cela revient à annuler un produit scalaire avec un paramètre $t$. C'est du calcul pur, il faut être rigoureux sur les coordonnées.

Exercice 4 : QCM (Logarithme et Probabilités)

Thèmes : Fonction Logarithme népérien (ln), Équations, Dérivées, Loi Binomiale.

Ce QCM de 6 questions balaie plusieurs notions rapidement. Attention, aucune justification n'est demandée, mais le brouillon est indispensable.

• Logarithme : Il faut maîtriser les propriétés algébriques ($\ln(ab) = \ln a + \ln b$) et la résolution d'équations (attention au domaine de définition !).
• Loi Binomiale : Les trois dernières questions concernent un tirage avec remise (schéma de Bernoulli). On vous interroge sur la probabilité exacte ($P(X=k)$), la probabilité "au moins un" (pensez à l'événement contraire !) et l'espérance.

Conseil de réussite

Ce sujet Amérique du Nord 2022 est équilibré. Si vous visez l'excellence, l'exercice de géométrie dans l'espace et la partie convexité de l'exercice 2 sont les endroits où vous pouvez faire la différence par la rigueur de votre rédaction.