Le sujet du Bac STI2D 2025 en Polynésie constitue un excellent exemple de l'interdisciplinarité propre à cette filière. Alliant mathématiques pures et applications physiques (PCM), il balaye des notions fondamentales du programme de terminale, de l'étude des mouvements à la maîtrise des outils d'analyse fréquentielle via les nombres complexes.
Analyse de l'Exercice PCM : Accélération d'un véhicule électrique
Cet exercice de Physique-Chimie et Mathématiques (PCM) plonge l'élève dans une situation concrète : l'étude de la cinématique d'un véhicule électrique. La première partie repose sur la compréhension du lien mathématique entre vitesse et accélération.
1. Dérivation et Accélération
Le sujet demande de déterminer l'accélération $a(t)$ sur l'intervalle [1 ; 4] sachant que $v(t) = 2t$. C'est une application directe de la définition de l'accélération comme dérivée de la vitesse par rapport au temps. Ici, $a(t) = v'(t) = 2 \text{ m}\cdot\text{s}^{-2}$. Pour un élève de STI2D, il est crucial de comprendre que si la vitesse est une fonction affine du temps, l'accélération est constante (mouvement uniformément accéléré).
2. Intégration et Distance Parcourue
La distance $D$ est définie par l'intégrale $\int_0^{50} v(t)dt$. Graphiquement, cela correspond à l'aire sous la courbe de la vitesse. L'énoncé fournit une aide précieuse avec l'unité d'aire (1 u.a. = 25 m d'après le quadrillage). L'élève doit ici procéder par comptage de carreaux ou par décomposition géométrique (trapèzes, rectangles) pour estimer la distance totale. C'est une compétence clé de l'ingénieur : savoir interpréter une donnée graphique pour en extraire une grandeur physique.
3. Vitesse Moyenne
Le passage de la distance totale à la vitesse moyenne nécessite une conversion d'unités (m/s vers km/h). La formule $v_{moy} = D / \Delta t$ est appliquée, puis multipliée par 3,6. Ce type de question teste la rigueur de l'élève face aux ordres de grandeur.
Analyse de l'Exercice Mathématiques : Complexes et Équations Différentielles
La partie mathématique se divise en deux piliers majeurs du programme : l'algèbre complexe et l'analyse fonctionnelle.
Partie I : Nombres Complexes
L'exercice porte sur la manipulation des formes algébriques et exponentielles.
- Forme exponentielle : Pour $z_1 = \sqrt{3} - i$, on calcule le module $|z_1| = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + (-1)^2} = 2$. L'argument $\theta$ vérifie $\cos(\theta) = \sqrt{3}/2$ et $\sin(\theta) = -1/2$, d'où $\theta = -\pi/6$. La forme exponentielle est donc $2e^{-i\pi/6}$.
- Puissances et produit : Le calcul de $z = z_1^3 \times z_2^2$ utilise les propriétés des exposants : $(e^{ia})^n = e^{ina}$. On obtient $z = (2^3 e^{-i3\pi/6}) \times (2^2 e^{i2\pi/4}) = 8e^{-i\pi/2} \times 4e^{i\pi/2} = 32e^{i0} = 32$. Le résultat étant un nombre sans partie imaginaire, il est bien réel. Cette maîtrise est indispensable en STI2D pour l'étude des impédances en électricité.
Partie II : Équations Différentielles
L'équation proposée est de la forme $y' = ay + b$ avec $y' = -4y + 80$.
- Solutions générales : La solution est de la forme $f(x) = C e^{ax} - b/a$. Ici, $f(t) = C e^{-4t} + 20$.
- Condition initiale : Avec $f(0) = 100$, on trouve $C + 20 = 100$, soit $C = 80$. La solution particulière est $f(t) = 80e^{-4t} + 20$.
- Comportement asymptotique : La limite en $+\infty$ de $e^{-4t}$ est 0, donc la limite de $f$ est 20. En contexte STI2D, cela représente souvent un régime permanent ou une température de stabilisation.
Conclusion
Ce sujet de Polynésie 2025 est équilibré. Il récompense les élèves capables de lier les outils mathématiques abstraits (exponentielles, intégrales) à des problématiques techniques réelles (véhicule électrique, régulation). La structure est classique mais exigeante sur la précision des calculs complexes.