Analyse Pédagogique du Sujet Mexique 2023

Cet exercice de mathématiques issu de la session 2023 du baccalauréat STI2D au Mexique est un condensé des notions fondamentales du programme de Terminale. Il se compose de quatre questions indépendantes, ce qui permet d'évaluer la polyvalence des candidats sur des compétences techniques variées.

La maîtrise des équations différentielles

La première question porte sur les équations différentielles linéaires du premier ordre de la forme y' = ay + b. C'est un point de passage obligé pour tout élève de STI2D, car ces équations modélisent de nombreux systèmes physiques (charge d'un condensateur, refroidissement d'un corps). L'élève doit savoir identifier les coefficients a = -2 et b = 40 pour appliquer la formule du cours : f(x) = C * e^{ax} - b/a. La détermination de la constante via la condition initiale f(0) = 200 teste la rigueur algébrique.

Analyse de fonction et dérivation

La question 2 demande de justifier le signe d'une dérivée pour une fonction produit de type u * v, où intervient la fonction exponentielle. La compétence clé ici est la règle de dérivation (uv)' = u'v + uv'. L'aspect crucial est de se rappeler que e^x est strictement positif sur ℝ, ce qui permet de déduire le signe de f'(x) uniquement à partir du facteur polynomial restant. C'est une question classique de transition entre calcul pur et étude de variations.

Nombres complexes : Formes exponentielles et trigonométriques

La troisième partie se concentre sur l'algèbre complexe. Le passage de la forme exponentielle au produit de deux complexes nécessite la maîtrise des propriétés des puissances : e^{ia} * e^{ib} = e^{i(a+b)}. La conversion finale vers la forme trigonométrique r(cos θ + i sin θ) vérifie si l'élève comprend le lien géométrique entre l'argument et les coordonnées polaires, une compétence essentielle pour l'étude des signaux en enseignement transversal.

Modélisation et Logarithmes

Enfin, la modélisation d'une population par une croissance exponentielle permet d'évaluer la capacité à utiliser la fonction logarithme népérien (ln). Pour déterminer l'année où la population dépasse un certain seuil, l'élève doit transformer une inéquation exponentielle en une inéquation linéaire. C'est le type de question qui relie les mathématiques pures aux enjeux sociétaux et technologiques réels.

• Compétence 1 : Résoudre des équations différentielles du type y' = ay + b.
• Compétence 2 : Dériver un produit et étudier un signe.
• Compétence 3 : Manipuler les arguments des nombres complexes.
• Compétence 4 : Utiliser le logarithme pour résoudre des problèmes de croissance.