Introduction au sujet de Bac STI2D 2023 Polynésie

Le sujet de mathématiques de la session 2023 en Polynésie pour la filière STI2D est un excellent indicateur des attendus du programme. Ce sujet mêle habilement l'analyse de fonctions et les nombres complexes, deux piliers indispensables pour tout futur bachelier souhaitant s'orienter vers les métiers de l'ingénierie, de l'énergie ou du numérique.

Analyse de la Question 1 : Étude de fonction exponentielle

L'exercice commence par l'étude d'une fonction classique : f(x) = x e^-x. Ce type de fonction est particulièrement pertinent en STI2D car il modélise souvent des phénomènes de réponse transitoire en électronique ou en thermique, où une grandeur augmente avant de s'atténuer progressivement.

1. Limite en l'infini : La recherche de la limite en +∞ nécessite la maîtrise des croissances comparées. En effet, l'exponentielle l'emporte sur la puissance de x, ce qui conduit à une limite de 0. Physiquement, cela représente un système qui se stabilise ou s'éteint après une sollicitation.

2. Dérivation : Le calcul de f'(x) utilise la règle du produit (uv)' = u'v + uv'. Le résultat f'(x) = e^-x(1 - x) permet d'identifier immédiatement le point critique à x=1. C'est un calcul fondamental pour déterminer le maximum d'un signal ou d'un rendement énergétique.

3. Tableau de variations : Le signe de la dérivée dépend uniquement de (1 - x) car l'exponentielle est toujours positive. La fonction est donc croissante sur [0 ; 1] puis décroissante. Ce comportement en 'cloche' est typique des systèmes à amortissement.

Analyse de la Question 2 : Les Nombres Complexes en Ingénierie

Le second volet porte sur les nombres complexes, outils indispensables pour l'étude des courants alternatifs et des systèmes vibratoires. L'objectif ici est de passer de la forme algébrique à la forme exponentielle.

1. Forme exponentielle de z₂ : Pour z₂ = -√3 + i, l'élève doit calculer le module (trouvé ici égal à 2) et l'argument. Par l'identification du cosinus (-√3/2) et du sinus (1/2), on identifie un angle de 5π/6. Cette compétence est cruciale pour déterminer des déphasages dans les circuits RLC.

2. Opérations sur les complexes : Le calcul de Z = z₁ / z₂³ sollicite les propriétés de l'exponentielle complexe. Rappelons que lors d'un quotient, les modules se divisent et les arguments se soustraient. L'élévation à la puissance 3 du dénominateur multiplie son argument par 3. Ces manipulations algébriques sont le quotidien des techniciens et ingénieurs en bureau d'études électriques.

Conclusion et conseils de révision

Ce sujet de Polynésie 2023 met l'accent sur la rigueur de la rédaction. Que ce soit pour justifier une limite ou détailler le calcul d'un argument complexe, la clarté est essentielle. Nous conseillons aux élèves de s'entraîner particulièrement sur les règles de calcul des puissances avec les exponentielles, car elles sont sources d'erreurs fréquentes en épreuve finale.