Analyse de l'exercice : Modélisation d'un four de recuit en STI2D

Cet exercice, issu de l'épreuve de Physique-Chimie et Mathématiques (PCM) du Bac STI2D 2021 (Métropole J2), est un classique de la modélisation thermique par les équations différentielles du premier ordre. Il demande aux élèves de faire le pont entre un phénomène physique concret (le chauffage d'un four industriel) et des outils mathématiques rigoureux.

La compétence clé : Résolution d'équations différentielles du type y' + ay = b

L'énoncé introduit l'équation (E) : 800y' + y = 600. Pour un élève de STI2D, la première étape consiste à identifier la forme standard y' = ay + b. En isolant y', on obtient y' = -1/800 y + 600/800. La solution générale est de la forme f(t) = C * e^(at) - b/a. Ici, le coefficient 'a' est lié à la constante de temps τ, une notion fondamentale en ingénierie. La constante de temps τ est égale à 800 secondes, ce qui représente la rapidité avec laquelle le système atteint son équilibre.

Interprétation physique et limites

L'exercice interroge sur la valeur limite de la température. Mathématiquement, cela revient à calculer la limite de la fonction θ(t) quand t tend vers l'infini. Puisque l'exposant est négatif (-0,00125t), le terme exponentiel tend vers 0, laissant la constante 600. Physiquement, cela signifie que le four ne pourra jamais dépasser la consigne de 600°C imposée par la résistance chauffante et les pertes thermiques. C'est une vérification de cohérence essentielle pour tout futur technicien ou ingénieur.

Utilisation du logarithme pour le calcul de durée

La question 3 nécessite de résoudre l'inéquation θ(t) ≥ 550. Cela mène à une équation exponentielle : 600 - 575e^(-0,00125t) = 550. L'élève doit isoler l'exponentielle, puis appliquer la fonction logarithme népérien (ln) pour 'descendre' la variable t. Ce type de calcul est systématique dans les problèmes de charge de condensateur, de refroidissement ou de décroissance radioactive. La conversion finale en minutes est cruciale pour répondre à la problématique 'métier'.

Compétences techniques requises :

• Identifier et résoudre une équation différentielle linéaire du premier ordre à coefficients constants.
• Déterminer une solution particulière grâce aux conditions initiales (ici θ(0) = 25).
• Maîtriser les propriétés de la fonction exponentielle et sa limite en moins l'infini.
• Manipuler les logarithmes pour résoudre des équations du type e^(kx) = C.
• Savoir convertir des secondes en minutes/secondes pour une application industrielle.