Analyse Pédagogique du Sujet 0 STL 2021

Ce sujet de mathématiques pour la filière STL (Sciences et Technologies de Laboratoire) est un modèle d'interdisciplinarité. Il balaie un spectre large du programme, allant de l'analyse pure à la programmation Python, tout en intégrant des concepts de géométrie et de physique-chimie via les équations différentielles. L'exercice est structuré pour tester la capacité de l'élève à passer d'une représentation graphique à une démonstration algébrique rigoureuse.

La Maîtrise de la Fonction Logarithme et des Aires

Les trois premières questions forment un bloc cohérent sur l'intégration. Le candidat doit d'abord déterminer l'équation d'une tangente à la courbe $C_f$ au point d'abscisse 1. Rappelons que l'équation est de la forme $y = f'(a)(x-a) + f(a)$. Avec $f(x) = \ln(x)$, on obtient $f'(1) = 1/1 = 1$ et $f(1) = 0$, ce qui mène directement à $y = x - 1$. Le calcul d'aire du trapèze $A_1$ et de l'aire sous la courbe $A_2$ demande une bonne manipulation des propriétés de la fonction $\ln$ (notamment $\ln(3^2) = 2\ln(3)$).

Algorithmique : La Méthode des Rectangles

La Question 2 introduit une dimension numérique essentielle en STI2D/STL : l'approximation d'une intégrale par Python. Le script fourni implémente la méthode des rectangles à gauche. L'élève doit comprendre que la variable 'pas' définit la largeur des rectangles et que la boucle 'while x < 9' définit l'intervalle. Avec un pas de 2 et un départ à $x=1$, les rectangles auront pour sommets gauches les abscisses 1, 3, 5, et 7. Graphiquement, cela correspond à la Figure 2.

Compétences Techniques Complémentaires

• Analyse : Dérivation d'un produit $(uv)' = u'v + uv'$. L'étude des variations de $f(x) = (3x+2)e^{-x}$ est un classique des épreuves de fin d'année.
• Géométrie : L'utilisation du théorème d'Al-Kashi (ou théorème de Pythagore généralisé) est requise pour calculer la longueur PR. La formule $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos(A)$ est ici indispensable.
• Physique-Maths : La question 6 traite des oscillations harmoniques via l'équation différentielle $y'' + \omega^2y = 0$. Il faut savoir vérifier qu'une fonction de type $\cos(\omega t + \phi)$ est solution en dérivant deux fois.