Analyse Pédagogique du Sujet STI2D - Septembre 2023
L'exercice de mathématiques du Bac STI2D (session de rattrapage métropole, septembre 2023) présenté ici est une évaluation classique mais complète des compétences fondamentales du cycle terminal. Il se compose de quatre questions indépendantes, un format idéal pour tester la polyvalence des candidats sur des thèmes clés : fonctions, nombres complexes et équations différentielles.
Maîtrise des Logarithmes et des Fonctions Exponentielles
La Question 1 porte sur les propriétés algébriques du logarithme décimal. Dans le cursus STI2D, le logarithme décimal est crucial pour les calculs de décibels (dB) en acoustique ou en électronique. La propriété appliquée ici est $\log(a \times b) = \log(a) + \log(b)$. Avec $a = 100$ et $b = x$, sachant que $\log(100) = 2$, la réponse exacte est $2 + \log(x)$.
La Question 2 évalue la capacité à lever des indéterminations simples sur les limites. La fonction $f(x) = 2e^{3x} - 2$ implique une croissance comparée. Lorsque $x \to -\infty$, l'exposant $3x$ tend vers $-\infty$, d'où $e^{3x} \to 0$. La limite se réduit donc à $-2$. Cette compétence est essentielle pour étudier le comportement asymptotique de systèmes physiques.
Géométrie Complexe et Interprétation Graphique
La Question 3 demande de passer d'une lecture graphique à une forme exponentielle $re^{i\theta}$. Le point E a pour coordonnées cartésiennes $(1 ; \sqrt{3})$. L'étudiant doit reconnaître la valeur approchée de $\sqrt{3} \approx 1,732$. Le module se calcule par $r = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = 2$. L'argument $\theta$ vérifiant $\cos \theta = 1/2$ et $\sin \theta = \sqrt{3}/2$ est $\pi/3$. La forme exponentielle est donc $2e^{i\pi/3}$.
Modélisation par les Équations Différentielles
Enfin, la Question 4 aborde les équations différentielles du premier ordre de type $y' = ay + b$. La solution générale est de la forme $f(x) = Ce^{ax} - b/a$. Ici, avec $a=2$ et $b=0,5$, on obtient $y(x) = Ce^{2x} - 0,25$. Ces équations sont le cœur de la modélisation en Sciences de l'Ingénieur, notamment pour les circuits RC ou la dynamique des systèmes.
Compétences Techniques Requises
- Calcul algébrique sur les logarithmes et exponentielles.
- Connaissance des valeurs remarquables du cercle trigonométrique.
- Résolution de modèles d'évolution linéaires (équations différentielles).
- Lecture et interprétation de repères orthonormés.