Analyse de l'exercice : Les complexes au service de l'électronique
Cet exercice du Bac STI2D Polynésie 2024 est un classique incontournable qui lie les mathématiques pures aux sciences de l'ingénieur. Il porte sur l'étude d'un filtre RC à travers sa fonction de transfert, un outil fondamental pour comprendre comment les signaux électriques sont modifiés par les composants passifs.
Compétences techniques et mathématiques requises
Pour réussir cet exercice, l'élève doit mobiliser plusieurs compétences clés du programme de terminale STI2D :
- Manipulation des nombres complexes : Passer de la forme algébrique à la forme exponentielle est ici essentiel. Le calcul de l'image de la pulsation de coupure nécessite une maîtrise de la division par un nombre complexe (utilisation de la quantité conjuguée).
- Utilisation des fonctions logarithmes : Le calcul du gain en décibels ($G_{dB}$) introduit la fonction log (logarithme décimal). Il faut savoir appliquer les propriétés $log(a^n) = n log(a)$ et $log(1/a) = -log(a)$.
- Interprétation physique : Comprendre que le produit de deux fonctions de transfert (montage en cascade) correspond mathématiquement à la multiplication de deux nombres complexes, ce qui simplifie l'analyse du système global.
Décryptage pédagogique
La première question demande de calculer la pulsation de coupure $\omega_c = 1/RC$. Avec $R = 10^6$ et $C = 10^{-6}$, on obtient $\omega_c = 1$. La substitution dans $H(\omega)$ mène à $1/(1+i)$. En multipliant par le conjugué $(1-i)$, on démontre facilement la forme $1/2 - 1/2i$.
Le passage à la forme exponentielle est l'étape charnière. Le module est $|H(\omega_c)| = \sqrt{2}/2$ et l'argument est $-\pi/4$. Cette forme facilite grandement la question 4 sur la mise en cascade. En effet, si $H_T = H \times H$, alors le module est élevé au carré et l'argument est multiplié par deux. Ainsi, $|H_T| = 1/2$ et $arg(H_T) = -\pi/2$.
Enfin, le calcul du gain $G_{dB} = 20 \log(\sqrt{2}/2)$ permet de vérifier la célèbre perte de 3 dB à la fréquence de coupure, une valeur de référence pour tous les techniciens et ingénieurs en électronique.