Analyse Pédagogique du Sujet

Cet exercice de la session de Mars 2023 pour l'académie de la Réunion est une application classique mais fondamentale du programme de Physique-Chimie et Mathématiques (PCM) en STI2D. Il mobilise l'étude des équations différentielles du premier ordre du type y' = ay + b, appliquées ici à la loi de refroidissement de Newton.

La problématique repose sur la validation d'un cahier des charges industriel. Pour un élève de STI2D, la difficulté ne réside pas seulement dans le calcul mathématique, mais dans l'interprétation physique des résultats : comprendre que le terme constant de la solution représente la température ambiante vers laquelle le système tend (asymptote).

Compétences Techniques Requises

• Résolution algébrique : Identifier les coefficients a et b dans l'équation y' = -0,044y + 0,88.
• Détermination de la solution particulière : Utiliser la condition initiale (température à t=0) pour fixer la constante d'intégration.
• Manipulation de la fonction exponentielle : Savoir calculer des valeurs numériques précises et interpréter le sens de variation.
• Vérification de critères : Comparer une valeur calculée à un seuil avec tolérance (notion d'incertitude et de conformité).

Décryptage de l'Exercice

La première étape consiste à donner la forme générale des solutions : y(t) = Ce^{at} - b/a. Ici, -b/a = -0,88 / -0,044 = 20. La fonction est donc de la forme f(t) = Ce^{-0,044t} + 20. En utilisant f(0) = 60, on isole C = 40. Le calcul final pour t = 8 montre une chute de température d'environ 11,9°C, ce qui dépasse largement le critère des 5°C fixés par l'entreprise. Le prototype doit donc être retravaillé sur le plan de l'isolation thermique.