Analyse de l'épreuve d'automatismes

Cette partie d'examen, extraite du sujet de Première Enseignement Spécifique (Asie 2026), est un test de rapidité et de maîtrise des concepts fondamentaux. Elle couvre les thématiques essentielles du collège et du début de lycée : pourcentages, puissances, calcul littéral, équations de base et probabilités. L'objectif est d'évaluer l'agilité mentale des élèves sans calculatrice.

Points de vigilance et notions clés

• Les Puissances : Rappelons les formules $ (a^n)^m = a^{n \times m} $ et $ a^n \times a^m = a^{n+m} $. L'erreur classique consiste à multiplier les bases ou à additionner les exposants de manière incorrecte.
• Les Pourcentages : Multiplier par un coefficient multiplicateur est la méthode la plus rapide. Augmenter de $15\%$ revient à multiplier par $1,15$, tandis que diminuer de $10\%$ revient à multiplier par $0,9$.
• Développement : La maîtrise de l'identité remarquable $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ est indispensable pour éviter l'oubli du double produit.
• Équations : L'équation $x^2 = a$ (avec $a > 0$) possède toujours deux solutions réelles : $\sqrt{a}$ et $-\sqrt{a}$.

Correction détaillée du QCM

Q1 : $5 \times (1 - 0,10) = 5 \times 0,9 = 4,5$. Réponse C.

Q2 : Augmenter de $15\%$ correspond à un coefficient de $1 + 15/100 = 1,15$. Réponse B.

Q3 : $2/5 = 4/10 = 0,4 = 40\%$. Réponse C.

Q4 : $B = (5^3)^4 \times 5^{10} = 5^{12} \times 5^{10} = 5^{12+10} = 5^{22}$. Réponse C.

Q5 : Le triple de $3^{12}$ est $3 \times 3^{12} = 3^1 \times 3^{12} = 3^{13}$. Réponse C.

Q6 : $(2x+5)^2 = (2x)^2 + 2 \times 2x \times 5 + 5^2 = 4x^2 + 20x + 25$. Réponse D.

Q7 : $x^2 = 5$ admet pour solutions $\sqrt{5}$ et $-\sqrt{5}$. Réponse D.

Q8 : $1 \text{ cm}^3 = 1000 \text{ mm}^3$, donc $3400 \text{ mm}^3 = 3,4 \text{ cm}^3$. Réponse A.

Q9 : $y_A = (-3)^2 = 9$. Réponse D.

Q10 : La somme des probabilités vaut $1$. $0,1 + 0,25 + 0,3 + x = 1 \Rightarrow 0,65 + x = 1 \Rightarrow x = 0,35$. Réponse A.

Q11 : $1/5 = 0,2$, ce qui est supérieur à $0,1$. Réponse C.

Q12 : $A = 3 \times (2/5) + 1 = 6/5 + 5/5 = 11/5$. Réponse A.