Analyse de l'épreuve d'automatismes

Cet exercice de Première Technologique est un classique des épreuves d'automatismes. Il balaie un large spectre de compétences fondamentales : le calcul numérique (fractions et puissances), la gestion des proportions (pourcentages), les bases des probabilités, la résolution d'équations produits et l'analyse statistique et graphique. L'objectif est de vérifier l'agilité mentale des élèves sur des notions clés du cycle terminal.

Points de vigilance et notions requises

• Calcul littéral et numérique : Maîtriser la mise au même dénominateur pour les fractions et les propriétés des exposants : $(a^n)^m = a^{n \times m}$.
• Évolution : Comprendre le lien entre une baisse en pourcentage et le multiplicateur associé ($1 - r/100$).
• Statistiques : La médiane est la valeur qui partage la série en deux effectifs égaux. Sur un effectif total de 30 élèves, il faut identifier la classe contenant la 15ème et 16ème valeur.
• Analyse graphique : Ne pas confondre l'ensemble de définition et l'ensemble des solutions d'une inéquation.

Correction détaillée

Question 1 : $5 - \frac{3}{2} = \frac{10}{2} - \frac{3}{2} = \frac{7}{2}$. Réponse b.

Question 2 : $(2^3)^{-5} = 2^{3 \times (-5)} = 2^{-15}$. Réponse b.

Question 3 : Une baisse de 20 % correspond à un coefficient multiplicateur de $1 - 0{,}20 = 0{,}8$. Le nouveau prix est $990 \times 0{,}8$. Réponse d.

Question 4 : $P(X \geqslant 5) = P(5) + P(6) = 0{,}3 + 0{,}3 = 0{,}6$. Réponse c.

Question 5 : Un produit de facteurs est nul si l'un des facteurs est nul. $x - 2 = 0 \implies x = 2$ ou $2x + 1 = 0 \implies x = -\frac{1}{2}$. Réponse a.

Question 6 : L'effectif total est $5+7+8+10 = 30$. La médiane se situe entre la 15e et 16e valeur. En cumulant les effectifs : 5 (note 7), 12 (note 10), 20 (note 12). La 15e et 16e valeur correspondent à la note 12. Réponse a.

Question 7 : On cherche les abscisses où la courbe est au-dessus de l'axe des abscisses. Cela correspond aux intervalles $[-4 ; -3]$ et $[-1 ; 3]$. Réponse c.

Question 8 : Proportions : $\frac{150}{500} = \frac{15}{50} = \frac{30}{100} = 30 \%$. Réponse c.