Analyse de l'épreuve d'automatismes

Cet exercice de Première Technologique est un échantillon représentatif de la partie 'Automatismes' du programme. L'objectif est d'évaluer la rapidité d'exécution et la maîtrise des concepts fondamentaux sans calculatrice complexe. L'énoncé balaie un spectre large : calcul numérique, proportions, fonctions affines et du second degré, ainsi que le traitement de données statistiques simples.

Points de vigilance et notions clés

• Proportions et taux d'évolution : La maîtrise du coefficient multiplicateur est indispensable. Pour une hausse de $t \%$, on multiplie par $1 + \frac{t}{100}$.
• Fonctions : Il faut savoir distinguer l'image (résultat de la fonction) de l'antécédent (valeur d'entrée). La lecture graphique d'une droite nécessite d'identifier l'ordonnée à l'origine ($b$) et le coefficient directeur ($a$).
• Second degré : La reconnaissance des racines sur un graphique et le signe de la parabole (orientée vers le haut ou le bas selon le signe de $a$) sont des compétences pivots.
• Probabilités : Savoir lire un tableau à double entrée et restreindre l'univers aux conditions données (probabilités conditionnelles ou fréquences conditionnelles).

Correction détaillée de l'exercice

Question 1 : $20 \%$ de $500 = 0,20 \times 500 = 100$. Réponse C.

Question 2 : Une augmentation de $5 \%$ correspond à un coefficient multiplicateur de $1 + 0,05 = 1,05$. Réponse B.

Question 3 : $4 \times \frac{2}{3} = \frac{4 \times 2}{3} = \frac{8}{3}$. Réponse A.

Question 4 : $x^2 = 4$ possède deux solutions réelles : $2$ et $-2$. Réponse C.

Question 5 : La droite coupe l'axe des ordonnées en $y = 3$ ($b=3$). Elle descend, donc la pente est négative. Pour un décalage de 1 en $x$, on descend de 2 en $y$ ($a=-2$). L'équation est $y = -2x + 3$. Réponse D.

Question 6 : $f(-2) = -2 \times (3 \times (-2) - 6) = -2 \times (-6 - 6) = -2 \times (-12) = 24$. Réponse C.

Question 7 : $x(3x-6) = 0$ si $x = 0$ ou $3x - 6 = 0 \Rightarrow x = 2$. Les antécédents sont 0 et 2. Réponse A.

Question 8 : La parabole est orientée vers le haut ($a > 0$) et coupe l'axe des abscisses en 2 et 6. Elle est donc positive à l'extérieur des racines et négative entre les racines. Réponse D.

Question 9 : $20 \times 4500 \text{ m} = 90\,000 \text{ m} = 90 \text{ km}$. Réponse C.

Question 10 : Moyenne pondérée = $\frac{(10 \times 2) + (16 \times 1)}{2 + 1} = \frac{20 + 16}{3} = \frac{36}{3} = 12$. Réponse B.

Question 11 : On interroge un client 'Sans fil' (total de la ligne = 90). Parmi eux, 20 ont un sac. Probabilité = $\frac{20}{90}$. Réponse B.

Question 12 : Visuellement, les 'Berlines' occupent $50 \%$. Les 'Cabriolets' représentent un petit secteur. En observant les angles, le secteur est d'environ $18 \%$. Réponse C.