Analyse de l'énoncé : Modélisation et suites
Cet exercice de niveau Première Technologique porte sur l'évolution de volumes d'eau à travers deux types de suites numériques. Il mêle la compréhension théorique des évolutions en pourcentage et l'utilisation pratique d'un tableur pour le suivi des données. C'est un exercice classique pour évaluer la distinction entre une suite arithmétique et une suite géométrique, ainsi que la capacité à interpréter un énoncé complexe (modèle mixte pour le second étang).
Points de vigilance et notions requises
- Multiplicateur : Savoir qu'une baisse de 10 % correspond à multiplier par 0,90 et une baisse de 20 % par 0,80.
- Formules Tableur : Comprendre la différence entre une référence relative (le terme précédent) et l'indice \(n\).
- Type de suite : Identifier qu'une multiplication constante définit une suite géométrique, tandis qu'un modèle combinant multiplication et addition définit une suite arithmético-géométrique.
Correction détaillée des affirmations
Affirmation 1 : Faux
Dans la cellule B3, on cherche à calculer \(u_1\). Le volume d'eau dépend du volume de l'année précédente (cellule B2). La formule correcte serait = 0,90 * B2. La formule proposée = 0,90 * A3 multiplie le coefficient par l'année \(n\) (ici \(1\)), ce qui donnerait \(0,9\) au lieu de \(2700\).
Affirmation 2 : Faux
Puisque chaque année le volume est multiplié par \(0,90\) (baisse de 10 %), la suite \((u_n)\) est une suite géométrique de raison \(q = 0,90\). Une suite arithmétique supposerait l'ajout d'une valeur constante, et non une multiplication.
Affirmation 3 : Vrai
Pour le second étang, le volume baisse de 20 % et gagne 140 m³ par an. La relation de récurrence est : \(v_{n+1} = v_n \times 0,80 + 140\).
Calculons \(v_1\) :
\(v_1 = 4000 \times 0,80 + 140 = 3200 + 140 = 3340\). L'affirmation est donc exacte.
Affirmation 4 : Vrai
Nous devons vérifier pour quelle valeur de \(n\) les deux suites passent sous la barre des 1000. Regardons le tableau :
- Pour \((u_n)\) : \(u_{10} \approx 1046,04\) et \(u_{11} \approx 941,43\). Donc \(u_n < 1000\) pour \(n \ge 11\).
- Pour \((v_n)\) : \(v_{10} \approx 1054,33\) et \(v_{11} \approx 983,47\). Donc \(v_n < 1000\) pour \(n \ge 11\).
Les deux volumes passent sous le seuil simultanément pour \(n = 11\), ce qui correspond à l'année \(2025 + 11 = 2036\).