Analyse de l'énoncé

Cet exercice de niveau Première Spécialité Mathématiques porte sur la modélisation d'un phénomène physique : le refroidissement. Il compare deux approches mathématiques. La Partie A explore un modèle linéaire (évolution proportionnelle), tandis que la Partie B introduit une suite géométrique pour modéliser une baisse en pourcentage.

Points de vigilance et notions requises

• Modélisation linéaire : Comprendre que la baisse proportionnelle correspond à une fonction affine (ou une suite arithmétique).
• Suites géométriques : Savoir traduire une baisse de 20% par un coefficient multiplicateur de $0,8$ ($1 - \frac{20}{100}$).
• Terme général : Utiliser la formule $U_n = U_0 \times q^n$.
• Écart de température : Faire attention à la distinction entre la température du plat et l'écart $U_n$ avec la température ambiante.

Guide de résolution détaillé

Partie A : Modèle Linéaire

1. En 3 minutes, la température passe de $180\text{\textdegree C}$ à $105\text{\textdegree C}$. La baisse totale est de $180 - 105 = 75\text{\textdegree C}$. En 1 minute, la baisse est de $75 / 3 = 25\text{\textdegree C}$.
2. Après 5 minutes : $180 - (5 \times 25) = 180 - 125 = 55\text{\textdegree C}$.
3. Après 8 minutes : $180 - (8 \times 25) = 180 - 200 = -20\text{\textdegree C}$. Ce modèle n'est pas pertinent car la température du plat ne peut pas descendre en dessous de la température ambiante ($25\text{\textdegree C}$).

Partie B : Modèle Géométrique

1. $U_0$ est l'écart initial : $180 - 25 = 155$.
2. a) Diminuer de 20%, c'est multiplier par $0,8$. Donc $U_{n+1} = 0,8U_n$.
b) La suite $(U_n)$ est donc une suite géométrique de premier terme $U_0 = 155$ et de raison $q = 0,8$.
c) Formule explicite : $U_n = 155 \times 0,8^n$.
3. Le plat est servi si Température $\le 40$, soit $T_n - 25 \le 15$. On cherche $n$ tel que $U_n \le 15$. En lisant le tableau fourni : $U_{10} \approx 16,8$ et $U_{11} \approx 13,4$. Victor pourra donc servir le plat au bout de 11 minutes.