Analyse de l'exercice

Cet exercice de Première Enseignement Spécifique se divise en deux parties distinctes : le calcul de probabilités dans un contexte d'événements indépendants (schéma de Bernoulli) et l'étude d'une fonction exponentielle de base \(a\) modélisant une croissance bactérienne. L'objectif est de vérifier la maîtrise des bases du dénombrement probabiliste et de l'analyse fonctionnelle élémentaire.

Points de vigilance

• Indépendance : Pour l'affirmation 1 et 2, il est crucial de se rappeler que pour deux événements indépendants \(A\) et \(B\), \(P(A \cap B) = P(A) \times P(B)\).
• L'ordre en probabilité : Pour l'affirmation 2, l'expression 'exactement un' implique deux scénarios (le premier oui et le deuxième non, OU le premier non et le deuxième oui).
• Unités : Dans la partie 2, la fonction \(f(t)\) renvoie des milliers de bactéries. Il ne faut pas confondre 1,5 (valeur de la fonction) avec 1500 (nombre réel de bactéries).

Correction détaillée

Question 1 : Soit \(X\) la variable aléatoire comptant le nombre d'appels durant plus de 5 minutes. \(X\) suit une loi binomiale \(\mathcal{B}(2; 0,3)\).

• Affirmation 1 (VRAIE) : La probabilité que les deux appels durent plus de 5 minutes est \(P(X=2) = 0,3 \times 0,3 = 0,09\).
• Affirmation 2 (FAUSSE) : La probabilité qu'un seul appel exactement dure plus de 5 minutes est \(P(X=1) = \binom{2}{1} \times 0,3^1 \times 0,7^1 = 2 \times 0,21 = 0,42\). L'affirmation proposait 0,21, ce qui oublie le coefficient binomial (les deux ordres possibles).

Question 2 : Soit \(f(t) = 1,1^t\).

• Affirmation 3 (VRAIE) : Une fonction de la forme \(a^t\) avec \(a > 1\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\). Ici \(a = 1,1 > 1\), donc la fonction est croissante sur \([0 ; +\infty[\).
• Affirmation 4 (VRAIE) : À \(t=2\), \(f(2) = 1,1^2 = 1,21\). La concentration est donc de \(1,21 \times 1000 = 1210\) bactéries par ml. Comme \(1210 < 1500\), la concentration est bien inférieure au seuil.