Analyse de l'énoncé et enjeux pédagogiques

Cet exercice est un classique du programme de Première Enseignement Spécifique. Il met en opposition deux modèles de croissance : la croissance linéaire (modélisée par une suite arithmétique) et la croissance exponentielle (modélisée par une suite géométrique). L'objectif est de comparer l'efficacité de deux placements financiers pour atteindre un capital cible de 22 000 €.

Partie A : Étude du premier placement (Suite Arithmétique)

Le placement A augmente d'une somme fixe de 200 € chaque année. Il s'agit d'une suite arithmétique de premier terme $a_0 = 20000$ et de raison $r = 200$.

• Calcul des premiers termes : $a_1 = a_0 + 200 = 20200$ et $a_2 = a_1 + 200 = 20400$.
• Relation de récurrence : Pour tout $n \in \mathbb{N}$, $a_{n+1} = a_n + 200$.
• Formule explicite : $a_n = a_0 + n \times r$, soit $a_n = 20000 + 200n$.
• Résolution de l'inéquation : On cherche $n$ tel que $20000 + 200n \ge 22000$. Cela donne $200n \ge 2000$, d'où $n \ge 10$. La somme sera atteinte en $2025 + 10 = 2035$.

Partie B : Étude du second placement (Suite Géométrique)

Le placement B augmente de 2 % par an. Appliquer un taux d'évolution de +2 % revient à multiplier par un coefficient multiplicateur $CM = 1 + \frac{2}{100} = 1,02$.

• Calcul de $b_1$ : $b_1 = 20000 \times 1,02 = 20400$.
• Nature de la suite : $b_{n+1} = 1,02 \times b_n$. C'est une suite géométrique de raison $q = 1,02$.
• Formule explicite : $b_n = 20000 \times (1,02)^n$.
• Exploitation du tableur : On observe dans le tableau que pour $n=4$, $b_4 \approx 21649$ et pour $n=5$, $b_5 \approx 22082$. Le capital dépasse 22 000 € pour $n=5$, soit en $2025 + 5 = 2030$.

Partie C : Bilan et conseil

Le placement B permet d'atteindre l'objectif de 22 000 € en seulement 5 ans (en 2030), alors que le placement A nécessite 10 ans (en 2035). Conseil : Emma et Pierre doivent choisir le placement B pour réaliser leur projet le plus tôt possible.

Points de vigilance

Lors de la rédaction, veillez à bien justifier le passage du pourcentage au coefficient multiplicateur. Pour les suites arithmétiques, ne confondez pas la raison avec le premier terme dans la formule explicite. Enfin, pour la lecture du tableur, précisez bien la valeur de $n$ qui fait basculer le capital au-dessus du seuil demandé.