Analyse de l'énoncé

Cet exercice est un classique des mathématiques en classe de Première Technologique. Il met en scène une situation concrète de comparaison de deux modèles d'évolution : une croissance linéaire (augmentation fixe) et une croissance exponentielle (augmentation en pourcentage). L'objectif est de traduire ces évolutions sous forme de suites numériques, d'identifier leurs caractéristiques (nature et raison) et d'utiliser un outil numérique (le tableur) pour comparer les deux modèles sur le long terme.

Points de vigilance et notions de cours

Pour réussir cet exercice, plusieurs compétences fondamentales doivent être maîtrisées :

• Identifier une suite arithmétique : Une suite est arithmétique lorsque l'on passe d'un terme au suivant en ajoutant toujours le même nombre réel, appelé raison (notée r).
• Identifier une suite géométrique : Une suite est géométrique lorsque l'on passe d'un terme au suivant en multipliant toujours par le même nombre réel, appelé raison (notée q). Une hausse de 10% correspond à un coefficient multiplicateur de 1,10.
• Formules de tableur : Il est crucial de comprendre l'adressage des cellules (ex: B2, C2) et la syntaxe des formules commençant par le signe '='.
• Interprétation du rang $n$ : Bien faire attention à la correspondance entre $n$ et l'année (ici, l'année $2026 + n$).

Correction détaillée

Partie A : L'offre n°1 (Suite arithmétique)

1. a) L'année 2027 correspond à $n=1$. Le montant est de $250 + 30 = 280$ euros.
1. b) $a_2 = 280 + 30 = 310$. En 2028, l'abonné paiera 310 euros.
2. Chaque année, on ajoute 30 euros au terme précédent. Ainsi, pour tout entier $n$, $a_{n+1} = a_n + 30$.
3. La suite $(a_n)$ est donc une suite arithmétique de premier terme $a_0 = 250$ et de raison $r = 30$.

Partie B : L'offre n°2 (Suite géométrique)

1. Une augmentation de 10% revient à multiplier par $1 + 10/100 = 1,1$. Ainsi, $b_1 = 200 \times 1,1 = 220$ euros.
2. Pour tout entier $n$, $b_{n+1} = 1,1 \times b_n$.
3. La suite $(b_n)$ est une suite géométrique de premier terme $b_0 = 200$ et de raison $q = 1,1$.

Partie C : Comparaison des offres

1. Dans la cellule D2, on cherche à calculer $c_0 = a_0 - b_0$. Les valeurs $a_0$ et $b_0$ se trouvent respectivement dans les cellules B2 et C2. La formule est donc : =B2-C2.
2. L'abonnement n°2 devient plus cher que l'abonnement n°1 lorsque $b_n > a_n$, soit quand $c_n < 0$. D'après le tableau, la première valeur négative de $c_n$ apparaît à la ligne 14, pour $n = 12$.
L'année correspondante est $2026 + 12 = 2038$.