Analyse de l'énoncé

Cet exercice de Première Technologique, issu du sujet Étrangers 2026, est un questionnaire de type Vrai/Faux portant sur deux piliers majeurs du programme : les suites numériques et les probabilités. L'exercice est structuré en cinq affirmations indépendantes qui testent la capacité de l'élève à calculer des termes de suite, modéliser une situation concrète, identifier une suite arithmétique et interpréter des données statistiques sous forme de probabilités simples et conditionnelles.

Points de vigilance et notions de cours

Pour réussir cet exercice, plusieurs compétences sont requises :

• Suites définies par récurrence : Savoir calculer les termes successifs sans erreur de calcul.
• Modélisation : Comprendre qu'une baisse de 10 % correspond à un coefficient multiplicateur de 0,9 (et non 1,1).
• Suites arithmétiques : Reconnaître la forme $w_n = r imes n + w_0$ et ne pas confondre la raison avec le premier terme ou l'ordonnée à l'origine.
• Probabilités : Utiliser correctement les effectifs d'un tableau à double entrée.
• Probabilités conditionnelles : Bien identifier l'univers de référence (le dénominateur) dans l'expression « Sachant que... » .

Correction détaillée

Affirmation 1 : VRAIE.
Calculons les termes successifs : $u_0 = 5$, $u_1 = 2 imes 5 + 1 = 11$, $u_2 = 2 imes 11 + 1 = 23$, $u_3 = 2 imes 23 + 1 = 47$. L'affirmation est donc exacte.

Affirmation 2 : FAUSSE.
Perdre un dixième de ses abonnés revient à en conserver 9/10. Le coefficient multiplicateur est $1 - 0,1 = 0,9$. La relation correcte est $V_{n+1} = 0,9V_n + 200$. L'énoncé proposait 1,1, ce qui correspondrait à une hausse de 10 %.

Affirmation 3 : FAUSSE.
On peut réécrire $w_n = rac{n}{3} + rac{4}{3} = rac{1}{3}n + rac{4}{3}$. C'est bien une suite arithmétique de raison $r = rac{1}{3}$. Cependant, le premier terme est $w_0 = rac{0+4}{3} = rac{4}{3}$ et non 4.

Affirmation 4 : VRAIE.
D'après le tableau, 150 élèves prennent le bus sur un total de 200 élèves. La probabilité est $P(B) = rac{150}{200} = rac{15}{20} = rac{3}{4}$.

Affirmation 5 : FAUSSE.
On cherche $P_B(G)$ (probabilité que ce soit un garçon sachant qu'il prend le bus). L'univers est restreint aux 150 élèves prenant le bus. Le nombre de garçons prenant le bus est $150 - 90 = 60$. La probabilité est donc $rac{60}{150} = rac{6}{15} = rac{2}{5} = 0,4$. L'affirmation proposait 0,6.