Analyse Pédagogique du Sujet 26 - Première Spécialité Mathématiques

Le sujet 26 de l'épreuve de contrôle continu (2020) pour la spécialité mathématiques en classe de première est un excellent test de synthèse. Il couvre un large spectre du programme, allant de l'analyse de fonctions à la géométrie analytique, en passant par les probabilités et les suites numériques couplées à l'algorithmie Python. Globalement, ce sujet est d'une difficulté moyenne, équilibré pour tester à la fois les connaissances théoriques et la rigueur technique.

Exercice 1 : QCM Multi-notions

Cet exercice de 5 points est un balayage efficace du programme. La Question 1 porte sur les propriétés de la fonction Exponentielle. La règle de calcul $\frac{e^a}{e^b} = e^{a-b}$ est ici centrale. Un élève doit immédiatement identifier que $\frac{e^{2x}}{e^{x+1}} = e^{2x-(x+1)} = e^{x-1}$.

La Question 2 mobilise le Second degré. Pour trouver les points d'intersection de deux paraboles, il faut résoudre l'équation $15x^2 + 10x - 1 = 19x^2 - 22x + 10$, ce qui revient à étudier le discriminant de $-4x^2 + 32x - 11 = 0$. C'est un test classique de rapidité de calcul.

Les Questions 3 et 4 traitent de la Géométrie repérée. La reconnaissance de l'équation cartésienne d'un cercle $(x-x_A)^2 + (y-y_A)^2 = R^2$ et l'identification d'un vecteur normal $\binom{a}{b}$ pour une droite $ax+by+c=0$ sont des compétences de base indispensables.

Enfin, la Question 5 sur la somme des $n$ premiers entiers ($1+2+...+n = \frac{n(n+1)}{2}$) demande une estimation rapide. Pour que la somme dépasse 5000, $n^2$ doit être proche de 10000, ce qui oriente vers $n=100$.

Exercice 2 : Étude de fonction et Dérivation

Cet exercice se concentre sur une fonction polynôme du troisième degré. La première partie demande de vérifier une factorisation. La méthode la plus sûre est de développer le produit proposé $(x - 1)(8x^2 + 2x + 2)$ pour retomber sur $f(x)$. Cela permet de trouver les racines (points d'intersection avec l'axe des abscisses). Le piège ici est d'oublier de vérifier si le trinôme du second degré possède des racines réelles (ici $\Delta < 0$, donc pas d'autres racines que $x=1$).

La partie Dérivation est très guidée. L'élève doit calculer $f'(x) = 24x^2 - 12x$ puis factoriser par $12x$ pour obtenir la forme demandée. L'étude de signe du produit $12x(2x-1)$ permet de dresser le tableau de variations. Le dernier point sur la tangente demande l'application de la formule $y = f'(a)(x-a) + f(a)$. Une erreur courante est de confondre l'abscisse du point et son ordonnée.

Exercice 3 : Probabilités et Variables Aléatoires

Le contexte commercial des parfums est classique pour les Probabilités conditionnelles. La construction de l'arbre pondéré est l'étape cruciale. Il faut bien distinguer les probabilités données (ex: 24% parmi ceux qui ont acheté du 30ml) comme des probabilités conditionnelles $P_F(B)$.

La loi de probabilité de la Variable Aléatoire $X$ (montant des achats) nécessite d'identifier les quatre issues possibles du cheminement de l'arbre :

• F et B : $40 + 25 = 65$ €
• F et non B : $40$ €
• Non F (50ml) et B : $60 + 25 = 85$ €
• Non F et non B : $60$ €

Exercice 4 : Suites et Modélisation Python

L'exercice traite d'une diminution annuelle de 1,5%, ce qui caractérise une Suite Géométrique de raison $q = 1 - 0,015 = 0,985$. La difficulté réside souvent dans la justification de la nature de la suite (passage de $d_n$ à $d_{n+1}$ par multiplication).

La partie Python demande d'écrire une fonction de type 'seuil'. L'élève doit maîtriser la structure while (tant que). Conseil méthodologique : Initialisez bien les variables (n=2018 et d=400) et n'oubliez pas d'incrémenter le compteur d'années à chaque itération de la boucle.

Conclusion

Ce sujet 26 est un excellent support de révision car il ne comporte pas de question "piège" mais exige une maîtrise parfaite des outils fondamentaux : discriminant, dérivée, arbre de probabilités et formules explicites des suites. Un élève préparé peut viser une excellente note en soignant particulièrement la rédaction des justifications dans l'exercice 2 et 4.