Analyse de l'énoncé

Cet exercice porte sur l'étude de fonctions polynomiales de degré 3, un grand classique du programme de Première Spécialité. Il mobilise deux compétences majeures : le calcul différentiel (dérivée et tangente) et l'étude algébrique de la position relative de deux courbes via le signe d'un trinôme du second degré.

Points de vigilance et notions requises

• Règles de dérivation : Il faut savoir dériver un polynôme terme à terme en utilisant la règle $\frac{d}{dx}x^n = nx^{n-1}$.
• Équation de la tangente : La formule $y = f'(a)(x - a) + f(a)$ doit être connue par cœur. L'erreur fréquente est d'oublier de calculer séparément $f(a)$ et $f'(a)$.
• Position relative : Pour comparer deux courbes, on étudie toujours le signe de la différence $f(x) - g(x)$.
• Signe du second degré : Savoir calculer le discriminant $\Delta$ et identifier les racines pour dresser un tableau de signes.

Correction détaillée

1. Calcul de la dérivée :
La fonction $f$ est un polynôme : $f(x) = 3x^3 - 5x^2 + 2$.
En appliquant les formules de dérivation, on obtient :
$f'(x) = 3 \times 3x^2 - 5 \times 2x + 0 = 9x^2 - 10x$.

2. Équation de la tangente $T$ au point d'abscisse $-1$ :
On utilise la formule $y = f'(-1)(x - (-1)) + f(-1)$.
Calculons d'abord les images :
• $f(-1) = 3(-1)^3 - 5(-1)^2 + 2 = -3 - 5 + 2 = -6$.
• $f'(-1) = 9(-1)^2 - 10(-1) = 9 + 10 = 19$.
L'équation devient : $y = 19(x + 1) - 6 = 19x + 19 - 6$, soit $y = 19x + 13$.

3. Position relative des courbes $C_f$ et $C_g$ :
a) $f(x) - g(x) = (3x^3 - 5x^2 + 2) - (3x^3 - 4x + 1) = -5x^2 + 4x + 1$.
b) Étude du signe de $-5x^2 + 4x + 1$.
C'est un trinôme avec $a = -5, b = 4, c = 1$.
$\Delta = b^2 - 4ac = 4^2 - 4(-5)(1) = 16 + 20 = 36$.
Les racines sont : $x_1 = \frac{-4 - 6}{-10} = 1$ et $x_2 = \frac{-4 + 6}{-10} = -0,2$.
Le coefficient $a$ est négatif, donc le trinôme est positif entre les racines.
c) $C_f$ est au-dessus de $C_g$ lorsque $f(x) - g(x) \ge 0$, soit sur l'intervalle $[-0,2 ; 1]$.