Analyse de l'épreuve d'automatismes

Cet exercice est un extrait classique des épreuves d'automatismes pour la spécialité mathématiques en classe de Première. Il balaye un large spectre de compétences fondamentales allant de l'analyse de données (tableaux et arbres) à la manipulation algébrique (identités remarquables, fractions) et la lecture graphique.

Points de vigilance et notions clés

• Probabilités : Pour un arbre, la probabilité d'une intersection \(P(A \cap B)\) s'obtient par le produit des probabilités le long du chemin. Dans un tableau croisé, la probabilité conditionnelle \(P_B(A)\) se calcule en restreignant l'univers à l'effectif de \(B\).
• Fonctions Affines : Dans l'équation \(y = ax + b\), \(a\) est la pente (déplacement vertical pour une unité horizontale) et \(b\) est l'ordonnée à l'origine.
• Variations : Une évolution globale se calcule en multipliant les coefficients multiplicateurs : \(CM_{global} = CM_1 \times CM_2\).

Correction Détaillée

Question 1 : On suit le chemin \(\overline{A}\) puis \(B\). \(P(\overline{A} \cap B) = P(\overline{A}) \times P_{\overline{A}}(B) = 0,6 \times 0,7 = 0,42\). Réponse b.

Question 2 : Soit \(N\) le nombre total d'élèves. \(\frac{3}{5}N = 150 \Leftrightarrow N = 150 \times \frac{5}{3} = 50 \times 5 = 250\). Réponse c.

Question 3 : \(\frac{A}{B} + 1 = \frac{1/3}{5/6} + 1 = \frac{1}{3} \times \frac{6}{5} + 1 = \frac{2}{5} + \frac{5}{5} = \frac{7}{5}\). Réponse a.

Question 4 : La droite \(y = \frac{1}{3}x + 1\) passe par \((0;1)\). Pour un déplacement de 3 vers la droite, elle monte de 1. C'est le graphique c.

Question 5 : \((x^3 - 1)^2 = (x^3)^2 - 2 \times x^3 \times 1 + 1^2 = x^6 - 2x^3 + 1\). Réponse b.

Question 6 : \(CM_1 = 1,20\) (hausse de 20%) et \(CM_2 = 0,50\) (baisse de 50%). \(CM_G = 1,20 \times 0,50 = 0,60\). Cela correspond à une baisse de \(1 - 0,60 = 0,40\) soit 40%. Réponse c.

Question 7 : Nombre d'élèves de plus de 16 ans = \(25 - (8 + 7 + 4) = 6\). Total des plus de 16 ans = \(6 + 4 = 10\). La probabilité sachant qu'il a plus de 16 ans est \(\frac{6}{10} = \frac{3}{5}\). Réponse d.

Question 8 : \(x = \frac{5}{2+y} \Leftrightarrow x(2+y) = 5 \Leftrightarrow 2+y = \frac{5}{x} \Leftrightarrow y = \frac{5}{x} - 2\). Réponse d.