Analyse de l'énoncé

Cet exercice de Première Spécialité, issu du sujet Antilles 2026, est un Vrai/Faux classique qui balaie deux piliers majeurs du programme : la géométrie repérée (via le produit scalaire) et l'analyse de fonctions (mêlant dérivation et fonction exponentielle). L'objectif est d'évaluer la capacité de l'élève à justifier rigoureusement des affirmations géométriques et analytiques.

Points de vigilance et notions requises

• Produit scalaire : Pour tester la perpendicularité de deux droites (AB) et (AC), il faut calculer le produit scalaire des vecteurs \(\vec{AB}\) et \(\vec{AC}\). Les droites sont perpendiculaires si et seulement si \(\vec{AB} \cdot \vec{AC} = 0\).
• Dérivation d'un produit : La fonction \(f(x) = (3x - 1)e^x\) est de la forme \(u \times v\). Sa dérivée s'obtient par la formule \(f' = u'v + uv'\).
• Monotonie : Le signe de la dérivée détermine les variations de la fonction. Ici, le signe de \(e^x\) étant toujours positif, tout repose sur le facteur affine.
• Équation de la tangente : La formule \(y = f'(a)(x - a) + f(a)\) doit être connue sur le bout des doigts.

Correction détaillée

Question 1 : Perpendicularité

Calculons les coordonnées des vecteurs :
\(\vec{AB} \begin{pmatrix} 3 - 2 \\ 2 - 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}\) et \(\vec{AC} \begin{pmatrix} 0 - 2 \\ 4 - 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ 4 \end{pmatrix}\).
Le produit scalaire est : \(\vec{AB} \cdot \vec{AC} = 1 \times (-2) + 2 \times 4 = -2 + 8 = 6\).
Comme le produit scalaire est différent de 0, les vecteurs ne sont pas orthogonaux. Affirmation fausse.

Question 2.a : Variations de f

Posons \(u(x) = 3x - 1\) donc \(u'(x) = 3\).
Posons \(v(x) = e^x\) donc \(v'(x) = e^x\).
\(f'(x) = 3e^x + (3x - 1)e^x = e^x(3 + 3x - 1) = (3x + 2)e^x\).
Puisque \(e^x > 0\), \(f'(x)\) est du signe de \(3x + 2\).
\(3x + 2 > 0 \iff x > -2/3\).
La fonction est décroissante sur \(]-\infty ; -2/3]\) et croissante sur \([-2/3 ; +\infty[\). Elle n'est donc pas croissante sur \(\mathbb{R}\). Affirmation fausse.

Question 2.b : Équation de la tangente

Calculons \(f(0)\) et \(f'(0)\) :
\(f(0) = (3 \times 0 - 1)e^0 = -1 \times 1 = -1\).
\(f'(0) = (3 \times 0 + 2)e^0 = 2 \times 1 = 2\).
L'équation de la tangente est \(y = f'(0)(x - 0) + f(0) = 2x - 1\). Affirmation vraie.