Analyse de l'énoncé

Cet exercice de mathématiques pour la classe de Première Spécialité porte sur la modélisation de phénomènes d'évolution à l'aide des suites numériques. On y traite deux types d'évolutions classiques : l'évolution linéaire (gain fixe de pions blancs) et l'évolution en pourcentage (baisse proportionnelle de pions noirs).

Points de vigilance et notions de cours

• Suite Arithmétique : Utilisée pour traduire un gain constant. La relation de récurrence est $u_{n+1} = u_n + r$. La forme explicite est $u_n = u_0 + n \times r$.
• Suite Géométrique : Utilisée pour une variation en pourcentage. Une baisse de $2\%$ correspond à multiplier par un coefficient multiplicateur $C_M = 1 - \frac{2}{100} = 0,98$. La forme explicite est $v_n = v_0 \times q^n$.
• Lecture de tableur : Il faut être attentif à la correspondance entre l'indice $n$ et le numéro de la ligne. Ici, l'indice $n=45$ se trouve à la ligne 47.

Correction détaillée

1. Étude de la suite $(u_n)$ : Chaque minute, le personnage gagne 10 pions. On passe donc d'un terme au suivant en ajoutant 10. La suite $(u_n)$ est donc une suite arithmétique de premier terme $u_0 = 0$ et de raison $r = 10$.
Son expression fonctionnelle est : $u_n = 0 + 10n = 10n$.

2. Étude de la suite $(v_n)$ :
a) Une diminution de $2\%$ revient à multiplier par $1 - 0,02 = 0,98$. Ainsi, $v_1 = v_0 \times 0,98 = 1000 \times 0,98 = 980$.
b) On passe d'un terme au suivant en multipliant toujours par le même réel $0,98$. La suite $(v_n)$ est donc géométrique de premier terme $v_0 = 1000$ et de raison $q = 0,98$.
Son expression fonctionnelle est : $v_n = 1000 \times 0,98^n$.

3. Conclusion sur le jeu : La partie dure 45 minutes. Le joueur gagne si $u_{45} \ge v_{45}$. En regardant la ligne 47 du tableau (correspondant à $n=45$), on lit : $u_{45} = 450$ et $v_{45} = 403$.
Puisque $450 \ge 403$, Lucas gagne la partie.